Bonjour,
a1 est dans le centre si et seulement si a1*a2=a2*a1 quel que soit a2, soit y1.z2=y2.z1 quels que soit z2 et y2. Je vous laisse conclure sur la/les valeurs possibles de z1 et y1.

Pour la 5 ça devrait être assez clair une fois que vous avez trouvé le centre.

Bonsoir , Je ne vois pas comment trouver Les valeurs possibles de
Parce  que :
Si
Si et 0 ==>

Et .....
Comment  trouver alors H, le centre de G.

Bonjour, essayez de poser z2=0 et y2=1 par exemple.
Et ensuite z2=1 et y2=0.

Si appartient au centre, alors : .
En testant plusieurs éléments, on obtient des conditions sur .
Une fois que l'on pense avoir caractérisé le centre, il reste à le prouver rigoureusement.

Bonsoir, selon Les indications de leducstet j'obtenis:
Si (x,y,z)H alors (x,y,z)*a=a*(x,y,z) , aG.
Cas1
Si a=(0,0,1) on obtient:
≠.
Cas2
Si a=(0,1,0) on obtient:
≠.
Cas3
Si a=(1,0,0) on obtient:
=.
Generalisation du cas3:
Si a=(b,0,0) on obtient:
=; b.
Cas4
Si a=(0,0,0) on obtient:
=.
Conclusion:
H={ (0,0,0) ;(b,0,0) ,b}.
Je veux que leducstet apprecie ma demonstration selon ses indications.

Bonsoir à Synar, vraiment Je ne me retrouve pas avec tes indications. Je m'aimerai que tu termine ta demonstration.

Plutôt à partir du cas 3 , ceci est raisonnable. Donc restification au niveau du cas3.
Cas3
Si a=(1,0,0) on obtient:
=.
Generalisation du cas3:
Si a=(b,0,0) on obtient:
=; b*.
Cas4
Si a=(0,0,0) on obtient:
=.
Conclusion:
H={ (b,0,0),b}

Bonsoir à leducstet , en suivant vos indications j 'obtiens:  dans la seconde condition z= 0. Donc
H ={(x,0,0) , x}.  
Maintenant concerne mon raisonnement vous avez raison. Mais et si je modifiai ma demonstration plutôt de cette maniere est-ce s'est acceptable.
Si (x,y,z)H alors , avec aG.

Trouvons
Et Je reprend la même chose que j'ai fait plus haut.

Je vois vraiment que Mon raisonnement est absurde même. Mais suivant vos indication  j'obtiens:  dans la seconde condition z= 0. Donc
H ={(x,0,0) , x}.   Sauf si  Je ne vous êtes toujours pas compris.

Bonjour,
votre raisonnement n'est pas rigoureux et très confus.
Vous semblez l'avoir compris mais je vais tout de même détailler histoire de si tout se passe bien clarifier tout ça.


Quand vous posez g=(x,y,z) un élément fixé de H, vous ne cherchez pas a tel que (x,y,z)*a=a* (x,y,z), mais vous cherchez à caractériser (x,y,z) en sachant que a*(x,y,z)=(x,y,z)*a quel que soit a dans G.

Le raisonnement à suivre est en fait du type analyse synthèse : on pose g un élément du groupe recherché H, on montre qu'il vérifie certaines conditions, et ensuite on montre que ces conditions sont suffisantes pour appartenir à H.

Soit g=(x,y,z) dans H.
Alors g*(0,0,1)=(0,0,1)*g donc (x+y,y,z)=(x,y,z) donc y=0.
Alors g*(0,1,0)=(0,1,0)*g donc (x,y,z)=(x+z,y,z) donc z=0.
Donc g=(x,0,0)
Donc H inclus dans l'ensemble des éléments de la forme (x,0,0) pour x dans Z.

Il reste alors à vérifier l'autre inclusion, soit que tout élément de la forme (x,0,0) est dans le centre :
soit g2=(x2,y2,z2) dans G : alors quel que soit g de la forme (x,0,0) on a g*g2=(x+x2,y2,z2)=g2*g
donc tout élément de cette forme est bien dans le centre.



Le raisonnement que je vous proposais au début est un peu plus direct dans la présentation sans changer le fond mais du coup demande un peu plus de confort avec ce qu'on manipule:
a1 est dans le centre
si et seulement si a1*a2=a2*a1 quel que soit a2
ssi y1.z2=y2.z1 quels que soit z2 et y2
ssi y1=0 et z1=0
(y1 et z1 sont solutions d'une infinité d'équations de la forme a.y1=b.z1 dont notamment 0.y1=1.z1 et 1.y1=0.z1).

Salut . il suffit de poser un H(x,y,z) et vous avez H est un centre si  H*a=a*H ( quelque soit le a ) vous calculer vous trouvez les coordonnées de H
pour la question 5 chercher injection entre ZxZ et G/H (vous avez le morphisme et la surjection d'après la question précédente )

Bonsoir, je remercie Synar pour avoir clarifier l'idée de leducstet. Sans oublié I'auteur de la solution leducstet. Maintenant pour la methode de Synar dans la determination de H, Je constat qu'on aboutir au même resultat. Mais avec beaucoup de vigilance.
Question 5) Apres avoir Determiner le centre H j'ai pensé au 1er
theoréme d'isomorphisme pour resoudre la question 5.
Solution:
On a: est un morphisme surjectif de groupe de (G,*) sur (×, +).
Determinons le noyau de.
Ker={ (x,y,z)G/ (x,y,z)=(0,0) }.
On à: (x,y,z)=(0,0)<==>(y,z)=(0,0) ==>y=0 et z=0.
Donc Ker={ (x,0,0) ; x}=H
D'où d'apres le premier theoréme d'isomorphisme (Z×Z,+) est isomorphe à G/H.
Donc la response 5) est reglée sauf si ma demonstration n'est pas juste.

Bonsoir à Mallosa. Essaiez de prouver la question 5 par votre methode si vous voulez bien. Je veux Bien en savoir plus.

Question 5)
On a:  est un morphisme surjectif de groupe de (G,*) sur (Z×Z, +).
Determinons le noyau de.
Ker={ (x,y,z)G/ (x,y,z)=(0,0) }.
On à: (x,y,z)=(0,0)<==>(y,z)=(0,0) ==>y=0 et z=0.
Donc Ker={ (x,0,0); xZ}=H et im=Z×Z
D'où d'apres le premier theoréme d'isomorphisme (Z×Z,+) est isomorphe à G/H.
Donc la response 5) est reglée sauf si ma demonstration n'est pas juste.