Bonjour elotwist

pour la première question, tu voulais sans doute dire m+n=d.

D'abord, montrer qu'un ensemble est un sous groupe n'est pas très difficile (il suffit s'appliquer la définition).

Ensuite, tu sais probablement que tous les sous-groupes de sont de la forme k avec k entier naturel. Ainsi, il existe un entier k tel m+n=k.

pour montrer que k=d, il suffit de démontrer que k divise d et réciproquement.
Pour montrer que d divise k, il faut remarquer que k est dans k, donc s'écrit k=am+bn, et comme d divise m et n, alors d divise k.
pour montrer que k divise d, il faut appliquer l'identité de Bezout qui dit qu'il existe u et v deux entiers tels um+vn=pgcd(m,n)=d. Ainsi, d est dans k et donc k divise d.

Voilà

Kaiser