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Groupes résolubles

Posté par
audinaudin
28-01-21 à 12:56

Bonjour à tous !
Svp comment étudier la résolubilité d'un groupe d'ordre 56 ? Ou plus généralement comment procéder à l'étude de la résolubilité d'un groupe non remarquable ?
Merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : Groupes résolubles 28-01-21 à 14:21

Bonjour

Ce n'est pas exactement ce que tu demandes, mais tu as ici: Groupe d'ordre 56
une étude des groupes d'ordre 56.

Posté par
audinaudin
re : Groupes résolubles 28-01-21 à 14:31

Merci déjà @camelia mais je ne vois pas comment ça peut m'aider dans l'étude de la résolubilité de ce groupe

Posté par
Camélia Correcteur
re : Groupes résolubles 28-01-21 à 14:32

Si tu connais tous les groupes d'ordre 56 tu peux bien regarder s'ils sont résolubles ou pas!

Posté par
GBZM
re : Groupes résolubles 28-01-21 à 15:26

Bonjour,

Sans chercher à déterminer tous les groupes d'ordre 56, on peut commencer par regarder s'il n'y a pas un sous-groupe de Sylow distingué. Ici, regarder les 2-Sylow et les 7-Sylow..
Si on en a trouvé un, on s'attaque au quotient (dont on connaît l'ordre). Et dans le cas qui nous occupe, on a une réponse immédiate.

Posté par
audinaudin
re : Groupes résolubles 28-01-21 à 17:28

Les 2-sous-groupes de Sylow sont distingués mais je vois pas comment conclure (en attaquant le quotient comme vous le dites)

Posté par
GBZM
re : Groupes résolubles 28-01-21 à 17:54

Heu... Pourquoi ???

Posté par
audinaudin
re : Groupes résolubles 28-01-21 à 18:30

Il est assez aisé de conclure si c'était un problème de non simplicité mais là pour la résolubilité je vois pas trop

Posté par
GBZM
re : Groupes résolubles 28-01-21 à 18:38

Peux-tu répondre à ma question, s'il te plaît ?
Tu affirmes que les 2-Sylow sont distingués (ce qui veut dire qu'il n'y a qu'un seul 2-Sylow). Comment démontres-tu cette affirmation ?

Posté par
audinaudin
re : Groupes résolubles 28-01-21 à 23:08

J'attaque d'abord les 7-Sylow et puis par un décompte d'éléments j'obtiens qu'on a 48 éléments d'ordre 7 le groupe étant d'ordre 56 il reste donc 8 éléments mais comme les 2-Sylow sont d'ordre 8 alors il ne peut y en avoir qu'un seul

Posté par
GBZM
re : Groupes résolubles 29-01-21 à 08:54

Tu supposes donc qu'on a huit 7-Sylow. Pourquoi n'y aurait-il pas un seul 7-Sylow ?

Posté par
audinaudin
re : Groupes résolubles 29-01-21 à 21:15

En fait on a deux possibilités pour le nombre de 7-Sylow soit 1 soit 8 si c'est 1 le groupe n'est clairement pas simple et si c'est plutôt 8 alors comme expliqué précédemment j'obtiens qu'on a qu'un seul 2-Sylow

Posté par
GBZM
re : Groupes résolubles 29-01-21 à 22:24

Je croyais que la question portait sur la résolubilité. Ce n'est pas la même chose que de ne pas être simple !

Reprenons. Tu as deux possibilités :
- un seul 7-Sylow, donc distingué
- huit 7-Sylow, donc un seul 2-Sylow, distingué.

Dans les deux cas tu as à étudier la résolubilité.
Si G est un groupe, H un sous-groupe distingué de G, quelle relation connaîs-tu entre la résolubilité de G, celle de H, celle de G/H ?

Posté par
audinaudin
re : Groupes résolubles 30-01-21 à 19:06

Dans ces différents cas ne parviens pas à construire une suite de résolubilité pour conclure ! Et je ne parviens pas également à prouver la non résolubilité dans les différents cas

Posté par
GBZM
re : Groupes résolubles 30-01-21 à 22:57

Je te pose des questions pour te guider, tu évites soigneusement d'y répondre. Fais un effort !

Citation :
Si G est un groupe, H un sous-groupe distingué de G, quelle relation connaîs-tu entre la résolubilité de G, celle de H, celle de G/H ?

Posté par
audinaudin
re : Groupes résolubles 31-01-21 à 12:12

Si H est résoluble, G/H résoluble alors G est résoluble

Posté par
audinaudin
re : Groupes résolubles 31-01-21 à 12:28

Je vois un peu . Dans le cas où on a un unique 7-Sylow H qui est distingué et d'ordre premier  alors H est cyclique donc Abélien et par conséquent résoluble
Aussi |G/H | =56/7=8 donc G/H est un p-groupe(2-groupe) fini donc G/H est résoluble et par conséquent G est résoluble 😁

Posté par
audinaudin
re : Groupes résolubles 31-01-21 à 12:45

Dans le cas où on s un unique 2-Sylow distingué H il est résoluble car c'est un 2-groupe fini . |G/H|=7 donc G/H est un groupe cyclique donc Abélien et donc résoluble
Ainsi G est résoluble

Posté par
audinaudin
re : Groupes résolubles 31-01-21 à 12:47

Là je crois qu'on peut conclure que tout groupe d'ordre 56 est résoluble sauf si je me suis trop emballé

Posté par
GBZM
re : Groupes résolubles 31-01-21 à 22:53

Non, tu ne t'es pas trop emballé.
Reste à bien rédiger.

Posté par
audinaudin
re : Groupes résolubles 31-01-21 à 23:33

Ok merci bien



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