Bonjour à tous !
Svp comment étudier la résolubilité d'un groupe d'ordre 56 ? Ou plus généralement comment procéder à l'étude de la résolubilité d'un groupe non remarquable ?
Merci
Bonjour
Ce n'est pas exactement ce que tu demandes, mais tu as ici: Groupe d'ordre 56
une étude des groupes d'ordre 56.
Merci déjà @camelia mais je ne vois pas comment ça peut m'aider dans l'étude de la résolubilité de ce groupe
Bonjour,
Sans chercher à déterminer tous les groupes d'ordre 56, on peut commencer par regarder s'il n'y a pas un sous-groupe de Sylow distingué. Ici, regarder les 2-Sylow et les 7-Sylow..
Si on en a trouvé un, on s'attaque au quotient (dont on connaît l'ordre). Et dans le cas qui nous occupe, on a une réponse immédiate.
Les 2-sous-groupes de Sylow sont distingués mais je vois pas comment conclure (en attaquant le quotient comme vous le dites)
Il est assez aisé de conclure si c'était un problème de non simplicité mais là pour la résolubilité je vois pas trop
Peux-tu répondre à ma question, s'il te plaît ?
Tu affirmes que les 2-Sylow sont distingués (ce qui veut dire qu'il n'y a qu'un seul 2-Sylow). Comment démontres-tu cette affirmation ?
J'attaque d'abord les 7-Sylow et puis par un décompte d'éléments j'obtiens qu'on a 48 éléments d'ordre 7 le groupe étant d'ordre 56 il reste donc 8 éléments mais comme les 2-Sylow sont d'ordre 8 alors il ne peut y en avoir qu'un seul
En fait on a deux possibilités pour le nombre de 7-Sylow soit 1 soit 8 si c'est 1 le groupe n'est clairement pas simple et si c'est plutôt 8 alors comme expliqué précédemment j'obtiens qu'on a qu'un seul 2-Sylow
Je croyais que la question portait sur la résolubilité. Ce n'est pas la même chose que de ne pas être simple !
Reprenons. Tu as deux possibilités :
- un seul 7-Sylow, donc distingué
- huit 7-Sylow, donc un seul 2-Sylow, distingué.
Dans les deux cas tu as à étudier la résolubilité.
Si G est un groupe, H un sous-groupe distingué de G, quelle relation connaîs-tu entre la résolubilité de G, celle de H, celle de G/H ?
Dans ces différents cas ne parviens pas à construire une suite de résolubilité pour conclure ! Et je ne parviens pas également à prouver la non résolubilité dans les différents cas
Je te pose des questions pour te guider, tu évites soigneusement d'y répondre. Fais un effort !
Je vois un peu . Dans le cas où on a un unique 7-Sylow H qui est distingué et d'ordre premier alors H est cyclique donc Abélien et par conséquent résoluble
Aussi |G/H | =56/7=8 donc G/H est un p-groupe(2-groupe) fini donc G/H est résoluble et par conséquent G est résoluble 😁
Dans le cas où on s un unique 2-Sylow distingué H il est résoluble car c'est un 2-groupe fini . |G/H|=7 donc G/H est un groupe cyclique donc Abélien et donc résoluble
Ainsi G est résoluble
Là je crois qu'on peut conclure que tout groupe d'ordre 56 est résoluble sauf si je me suis trop emballé
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