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guirlandes de Steiner

Posté par
derny
29-09-20 à 22:44

Bonsoir
Plusieurs problèmes :
Dans tous ces problèmes les rayons sont entiers et le plus grand cercle est le plus petit possible.
1)_ trouver la guirlande de 3 cercles avec axe de symétrie
2)_ trouver la guirlande de 4 cercles avec axe de symétrie. 2 sortes de symétrie donc 2 réponses à donner
3)_ trouver la guirlande de 6 cercles avec axe de symétrie. 2 sortes de symétrie donc 2 réponses à donner
4)_ trouver la guirlande de 3 cercles avec tous les cercles différents
5)_ trouver la guirlande de 4 cercles avec tous les cercles différents
6)_ trouver la guirlande de 6 cercles avec tous les cercles différents

Posté par
dpi
re : guirlandes de Steiner 30-09-20 à 08:14

Bonjour,
On est parti pour une saga...

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Posté par
dpi
re : guirlandes de Steiner 30-09-20 à 08:19

suite,

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Posté par
LittleFox
re : guirlandes de Steiner 30-09-20 à 10:51


Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer ce qu'est une "Guirlande de Steiner"?
Qu'est ce qui empêche de faire 1-1-1 pour 1) ?

Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 30-09-20 à 11:16

Bonjour
La guirlande est les cercles entre le cercle intérieur et le cercle extérieur.

guirlandes de Steiner

Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 30-09-20 à 11:29

dpi donnes aussi les rayons des cercles intérieur et extérieur.

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Posté par
LittleFox
re : guirlandes de Steiner 30-09-20 à 11:29


Les cercles rouges et bleus sont entiers aussi?

Posté par
dpi
re : guirlandes de Steiner 30-09-20 à 12:17

>Littlefox
Tu devrais aller voir  "cercles tangents de vham
Tu vas te régaler pour chercher les séries.

Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 30-09-20 à 12:50

Oui, les cercles rouge et bleu sont aussi "entiers".

Posté par
dpi
re : guirlandes de Steiner 30-09-20 à 17:26

Suite,

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Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 30-09-20 à 17:40

Bonsoir
A dpi

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Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 30-09-20 à 17:44

Indices pour toutes guirlandes : les points de contact sont sur un cercle (orange message à 11h16) et les centres sont sur une ellipse (en vert).

Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 02-10-20 à 07:57

Bonjour
Pas facile ...
Pour aider un peu ci-dessous les dessins solutions du 2e problème.

guirlandes de Steiner

guirlandes de Steiner

Posté par
mathafou Moderateur
re : guirlandes de Steiner 02-10-20 à 10:23

Bonjour,

indications (figures) fallacieuses car :
le centre du grand cercle (J chez moi) n'a aucune raison d'être sur le petit (de centre O chez moi) ni sur le cercle des points de contact (de centre D) :
cas 1
guirlandes de Steiner
cas 2
guirlandes de Steiner

les calculs semblent abominables (j'ai renoncé, mais moi et les calculs ...)
le cas 1 semble le plus simple car les distances sur l'axe sont exprimées directement à partir des rayons "choisis" R, r, r1, r3
et le théorème de Stewart dans KAB donne deux relations fournissant r2
qui doivent donner la même valeur pour que la chaine existe.

en fait R, r et la distance des centres d = OJ sont liés dans tous les cas
si on se fixe R et r, alors d est imposée et r1 et r3 sont directement imposés par cette relation.
elle est toutefois abominable car fait intervenir des \sqrt{2} incontournables voire des logarithmes et des fonctions hyperboliques selon la littérature ("écart inversif") , alors pour calculer des nombres ainsi irrationnels avec l'espoir d'obtenir des nombres entiers .. hum, c'est pas gagné.

j'avais calculé jadis la formule pour une chaine de Steiner à n cercles :

\dfrac{R}{r}\times \dfrac{R^2 - r^2-d^2 - \sqrt{(R^2 - r^2 - d^2)^2-4d^2r^2}}{R^2 - r^2+d^2 - \sqrt{(R^2 - r^2 + d^2)^2-4d^2r^2}} = \dfrac{1+\sin \pi/n}{1-\sin \pi/n}
(sauf erreurs de calculs à l'époque et sauf erreur de recopie maintenant)

dans le cas 2 on n'échappe pas non plus à des racines carrées partout, qui certes peuvent s'éliminer en élevant deux fois au carré mais beurk. (équation de degré 4 non bicarrée)

Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 02-10-20 à 11:30

mathafou, si ta formule est exacte (je n'ai pas encore vérifié) tu peux la simplifier.
En effet j'avais établi il y a déjà plus de 25 ans toute une batterie de formules dont une qui relie ces éléments. Elle est plus simple que ta formule.

Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 02-10-20 à 18:22

mathafou, ta formule ne semble pas fonctionner. Peux-tu la vérifier ?

Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 02-10-20 à 18:26

Je donne le 1er cas :
R=30, r=5, d=5, R1=10, R2=12, R3=15

Posté par
mathafou Moderateur
re : guirlandes de Steiner 02-10-20 à 22:07

mes calculs ne datent pas de 25 ans mais pas loin.
et comme il n'y avait que cette conclusion sans les détails de calculs intermédiaires ...
pas trop le temps ce WE non plus.

Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 05-10-20 à 14:44

Bonjour
mathafou, sur Internet il y a ta formule mais à la place de ton "dernier" r c'est R. C'est pour ça qu'elle ne fonctionnait pas.

Posté par
mathafou Moderateur
re : guirlandes de Steiner 05-10-20 à 15:46

ah oui, bien vu,
mal recopié à partir de notations différentes.

Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 15-10-20 à 14:48

Bonjour
La 2e guirlande (ou chaîne) de 4 cercles avec axe de symétrie est :
R1=7, R2=14, R=28, r=4.
O milieu de Oi-Oe
Pour info
Cercle des pts de contact : (x+32)²+y²=98 __ Rc=72
L'ellipse des centres : 7x²+8y²=1792 __ 2a=r+R=32  __ 2b=22rR=814

Posté par
derny
re : guirlandes de Steiner 01-11-20 à 10:41

Bonjour
Toujours rien ?
Il est vrai que les formules de Descartes et de Soddy aident bien pour une guirlande (on dit aussi chaîne) de 3 cercles mais n'aident pas au-delà. Il faut creuser plus profond et ce n'est pas facile.

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