Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Haché menu
Devant moi, un couloir rempli de hache pendues au plafond: 
https://*** image rapatriée sur le forum.
Dès que j'aurai marché sur la première dalle, je serai forcé à aller sur la suivante (au dessus de laquelle ce trouve une hache) à chaque seconde sans quoi la dalle se dérobera sous mes pieds et je finirai empalé.
Le créateur de ce piège a arrangé les haches de façon à ce qu'elle ait une demi période égale aux décimales de pi mutipliées par deux plus un. Ainsi la première hache prend 1x2+1 = 3 secondes à revenir à la verticale, la seconde 9, puis 3, 11, 19, 5 et ainsi de suite.
Les haches viennent de passer toutes à la verticale.
Si je vais immédiatement sur la première dalle, j'éviterai les deux premières mais me ferait découper par la troisième. Si j'attends 1 seconde alors je me prendrai la 9ème hache. Alors que si j'attends 2 secondes, je me trouverai sur la seconde dalle en même temps que la première hache.
Quelle est la longueur du couloir si elle maximale tout en permettant de le traverser? Dans combien de temps dois-je m'engager sur la première dalle pour m'en sortir vivant?
Voici une illustration en ascii art pour vous aider à visualiser 
| | | | | | | | | | | |
o | | |
1 > o> |< <
4 < <| < o < |
1 > |> |< X
5 < <| < | < |
9 > |> | > | >
o | | | | | | | | | |
1 |> o< < <| >| > |> |< < <| >|
4 <| < | < o < | > | > | > | >| > |> | >
1 |> |< < <o >| > |> |< < <| >|
5 <| < | < | < | o | > | > | > | >| >
9 |> | > | > | > | o | | | | |
2 <| < | > | > |> | > o < |< < <| < |
6 |> | > | > | > | | | o | < | < | <
5 <| < | < | < | | | > | > | > o >| >
3 |> | > | > | < | < |< < <| < | < o > |
5 <| < | < | < | | | > | > | > | >| X
8 |> | > | > | > | | | | | | |
9 <| < | < | < | | | | | | | |
| | | | | | | | | | | |En haut, je me lance immédiatement et en bas, j'attends 1 seconde avant de me lancer.
Bonjour,
Je vais déjà le traduire, soit D(i) la ième décimale du nombre pi et T l'instant où je pars. Je dois avoir T+i ≠ 0 mod 2D(i)+1 sinon le moment où je passe à l'endroit de la iéme hache est un multiple de sa demi-période et je vais me faire couper en morceaux. Sauf erreur de calcul de ma part (largement envisageable me connaissant)
Décimales valant 0 : T+32 ≠ 0 mod 1 donc de toute façon, la longueur max sera 31 haches
Décimales valant 1 : T+1 et T+3 ≠ 0 mod 3 donc
T mod 3 {2}
Décimales valant 2 : T+6 et T+16 et T+21 et T+28 ≠ 0 mod 5 donc
T mod 5 {0 ;1 ; 3}
Décimales valant 3 : T+9 et T+15 et T+17 et T+24 et T+25 et T+27 ≠ 0 mod 7 donc
T mod 7 {0 ; 2}
Décimales valant 4 : T+2 et T+19 et T+23 ≠ 0 mod 9 donc on doit choisir T mod 9 {0 ; 1 ; 2 ; 3 ;5 ; 6}. Mais d'après la contrainte précédente T mod 3
{2} donc T mod 9
{2 ; 5 ; 8}.
Au final T mod 9 {2 ; 5}
Décimales valant 5 : T+4 et T+8 et T+10 et T+31 ≠ 0 mod 11 donc on doit choisir
T mod 11 {0 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 9 ;10}.
Décimales valant 6 : T+7 et T+20 et T+22 ≠ 0 mod 13 donc on doit choisir
T mod 13 {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12}.
Décimales valant 7 : T+14 et T+29 ≠ 0 mod 15 donc on doit choisir T mod 15 {0 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14}. Mais d'après la contrainte précédente T mod 3
{2} donc T mod 15
{2 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14} et T mod 5
{0 ; 1 ; 3} donc T mod 15
{0 ; 1 ; 3 ; 5 ; 6 ; 8 ;10 ; 11 ; 13}.
Au final T mod 15 {5 ; 8 ; 11}.
Décimales valant 8 : T+11 et T+18 et T+26 ≠ 0 mod 17 donc on doit choisir
T mod 17 {0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;7 ;9 ;10 ;11 ;12 ;13 ;14 ;15}.
Décimales valant 9 : T+5 et T+12 et T+14 et T+30 ≠ 0 mod 19 donc on doit choisir
T mod 19 {0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;9 ;10 ;11 ;12 ;13 ;15 ;16 ;17 ;18}.
On applique gentiment le théorème des restes chinois en enlevant les contraintes sur les décimales valant 3 et 5 qui ont déjà été considérées ailleurs et on trouvera des instants de départ qui vont bien mais beaucoup trop la flemme de le faire à la main. Désolée, en revanche tant qu'aucun ensemble n'est vide, cela devrait passer.
C'est ça l'idée 
Bonne traduction.
Petite erreur dans l'énoncé: Si je pars après 1 seconde je passerai 9 haches et me prendrai la 10ème. C'est d'ailleurs correct dans les schémas de mon deuxième post.
Une petite remarque: Avant d'utiliser le théorème des restes chinois, il sûrement préférable de tester quelques nombres. On atteint le nombre maximal de haches après un temps relativement court. Mais pour avoir l'ensemble des solutions alors le théorème est pas mal. Mais il y a beaucoup de solutions.
Tous calculs fait:
Il y a 64680 T possibles sur 14549535 = 3²x5x7x11x13x17x19 (moins d'une chance sur 200, il ne faut pas se louper 
).
Mais les 7 plus petitsT sont inférieurs à 1000 et le plus petit est inférieur à 100.
Cliquez pour afficher
Annuler
connectez vous