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Harry joue avec sa calculatrice
Bonsoir à tous,
Je vous expose mon problème:
Harry joue avec sa calculatrice. Il s'aperçoit qu'en tapant cos(1) et puis ensuite cos(Ans), cos(Ans), cos(Ans) et ainsi de suite, il finit par obtenir une valeur qui ne change plus. Sally sa voisine, lui fait remarquer que cela revient à faire cos(cos(cos(cos(...cos(cos(1))...)))) jusqu'à obtenir les 9 premières décimales d'un nombre a.
Question:
Expliquer pourquoi le nombre a doit être solution de l'équation cos(x) = x.
Je sais l'expliquer avec le théorème des valeurs intermédiaires puis ou avec le théorème du point fixe en montrant que la fonction cos est contractante, mais je ne vois pas comment répondre à cette question avec des connaissances de classe de seconde.
Quelqu'un aurait-il une idée ?
Merci d'avance de vos propositions (en espérant que le post est au bon endroit du forum).
malou > ***forum modifié***
Salut,
Si a = cos(cos(cos(......(cos(cos(1)))) , alors cos(a) = cos(cos(cos(cos(......(cos(cos(1)))) = a
bonsoir,
je tenterais une démonstration par l'absurde. on suppose que c'est différent (cos x et x) et on montre que ce n'est pas possible.
Bonsoir à vous deux,
Merci pour vos réponses! J'avais aussi pensé au raisonnement par l'absurde, mais effectivement, l'explication de Yzz convient parfaitement!
Merci à vous!
A+
Si vaut
appliqué à
un certain nombre
de fois, alors
vaut
appliqué
fois à
et il n'y a aucune raison que cela fasse encore
.
douzaine,
Hors énoncé, juste pour rebondir sur ce que tu as écrit.
On a à faire à une suite définie par :
U(n+1) = cos(U(n))
avec U(0) = cos(1)
Et cette suite est convergente (même si cela n'a pas été démontré), la valeur a vers laquelle la suite converge est telle que a est solution de cos(a) = a.
Ce n'est pas la même chose que de dire (comme il me semble tu l'as fait) que pour un certain nombre n on a U(n+1) = U(n) = a
Il ne faut pas oublier la notion de limite, on a lim(n--> +oo) U(n) = a (telle que a est solution de cos(a) = a).
Dans le cas présent, on a a = 0,739085133... (ce sont les 9 premières décimales de a)
-----
On pourrait d'ailleurs montrer que lim(n--> +oo) U(n) = 0,739085133... quelle que soit la valeur de U(0), mais c'est hors sujet.
D'accord, mais tout cela est hors programme en seconde comme l'a remarqué robby3.
Un élève de seconde qui n'a pas vu la notion de limite ne pourra pas utiliser cette suite et il est dangereux de lui faire utiliser des notations dépourvues de sens précis comme
. D'ailleurs, la présence d'un premier et d'un dernier
dans cette écriture laisse supposer qu'il n'y a qu'un nombre fini d'application de
, d'où ma remarque.
Il me semble que cet exercice demande l'impossible. Et puis, le résultat affiché sur la calculatrice constitue les 9 premières décimales de plusieurs nombres, parmi lesquels un seul est solution de donc l'énoncé est faux en plus d'être intraitable.
Et puis, le résultat affiché sur la calculatrice constitue les 9 premières décimales de plusieurs nombres, parmi lesquels un seul est solution de cos(x) = x
... il est clairement écrit dans l'énoncé :
"il finit par obtenir une valeur qui ne change plus. Sally sa voisine, lui fait remarquer que cela revient à faire cos(cos(cos(cos(...cos(cos(1))...)))) jusqu'à obtenir les 9 premières décimales d'un nombre a."
C'est donc bien, le nombre obtenu à partir du moment où la succession des opérations est suffisamment avancée et telle que le nombre affiché ne varie plus (du moins sur ses 9 premières décimales)avec les opérations qui suivent. Cela n'a rien d'ambigu sur le nombre à considérer.
Pour moi, cet exercice ne demande rien qu'un zeste de réflexion (tant qu'on considère pour acquis que la série converge, ce que l'énoncé précise, même si il n'utilise pas les mots suite et convergence probablement non maîtrisés correctement en Seconde et qu'on maîtrise suffisamment sa langue maternelle pour comprendre le sens des phrases ... cela n'est pas toujours le cas non plus, malheureusement ).
C'est peut être cela qui dérange avec l'enseignement actuel qui tente de replacer la réflexion par des tâches à accomplir à la queue-leu-leu sans vision globale.
Quand un poil de réflexion est demandée ... bardaf, c'est l'embardée.
Enfin ce n'est que mon avis ... mais je le partage.
Mettons que le nombre dont l'énoncé parle soit le nombre qui finit par être affiché sur la calculatrice. Ce nombre n'est alors pas solution de
mais seulement la valeur approchée à
décimales près de cette solution.
S'il faut expliquer alors que la valeur approchée de à
décimales près est
, et que la réponse attendue est "l'énoncé dit que la calculatrice renvoie
quand on rentre
puis
, d'accord: c'est alors un exercice sur le principe de la calculatrice. Pourquoi pas hein, mais dans ce cas autant faire plus simple et demander pourquoi rentrer
,
,
et
renvoie
.
Donc je pense que l'énoncé sous-entend que le nombre , dont les premières décimales sont affichées sur la calculatrice, est la solution de
.
Or,
1- Il y a des nombres possédant les mêmes décimales que celles affichées sur la calculatrice et qui ne sont pas des solutions de , donc l'énoncé ne définit pas
. (sauf si on demande: "soit
tel que
, expliquer pourquoi
")
2- L'élève n'a aucun moyen de savoir qu'une telle solution existe, ni que si elle existe on peut se rapprocher d'elle en itérant .
[Ni que le procédé s'arrête: le ième arrondi pourrait très bien dépasser
par en dessous, le
-ième pourrait alors repasser au dessus et être égal au
-ième, et cela bouclerait ainsi. On peut aussi imaginer que la boucle soit plus longue. D'ailleurs je ne suis pas sûr que celui qui a posé l'exercice ait calculé 60 fois cos de cos de .... pour vérifier que ce qu'il dit est vrai, et perso je serais incapable de prouver que c'est effectivement ce qui arrive sans l'aide d'un outil de calcul.]
Pour moi, cet exercice ne demande rien qu'un zeste de réflexion (tant qu'on considère pour acquis que la série converge, ce que l'énoncé précise, même si il n'utilise pas les mots suite et convergence probablement non maîtrisés correctement en Seconde et qu'on maîtrise suffisamment sa langue maternelle pour comprendre le sens des phrases ... cela n'est pas toujours le cas non plus, malheureusement ).
Il ne suffit pas de comprendre la langue française pour comprendre pourquoi le nombre obtenu sur la calculatrice est proche à
C'est peut être cela qui dérange avec l'enseignement actuel qui tente de replacer la réflexion par des tâches à accomplir à la queue-leu-leu sans vision globale.
Quand un poil de réflexion est demandée ... bardaf, c'est l'embardée.
Je crois que tout le monde est d'accord sur ce point, mais à mon sens ce que l'exercice encourage à faire c'est le bidouillage de pointillés que Yzz a proposé (ce qui a au moins le mérite de ne pas manquer d'astuce), ou pire: il encouragera certains élèves à dire que
Désolé, mais tu cherches des complications là où il n'y en a pas.
Il est évident que la valeur exacte du nombre a est la solution de l'équation cos(x) = x (qui n'est pas un nombre décimal et dont l'écriture décimale a une infinité de chiffres après la virgule).
On ne peut donc pas entrer la valeur exacte de a dans la calculatrice, mais on pourrait très bien entrer comme 1er terme une valeur plus proche de "a" que sa valeur donnée par ses 9 premières décimales.
Et alors ?, on constaterait (en le faisant) que les opérations suivantes laisseraient les 9 premières décimales (et peut-être plus) inchangées. Cela ne pose pas de problème particulier.
-----
Donc je pense que l'énoncé sous-entend que le nombre a, dont les premières décimales sont affichées sur la calculatrice, est la solution de cos(x) = x
Pas du tout, cela c'est ce qui est demandé de démontrer.
2- L'élève n'a aucun moyen de savoir qu'une telle solution existe
Bien sûr que si, c'est explicite dans l'énoncé, par la phrase "il finit par obtenir une valeur qui ne change plus." On ne demande donc pas de le prouver, c'est une donnée du problème.
Il n'est pas question, dans un exercice de faire de "l'overdesign", donc d'essayer de prouver ce que l'énoncé donne comme acquis.
Rien n'empêche, de tenter de le démontrer, mais c'est hors de ce que demande l'exercice.
Et c'est clair, que dans le cas présent, les élèves de seconde ne sauraient pas démontrer que la "suite" converge vers une valeur a telle que cos(a) = a.
L'ENONCE NE LE DEMANDE PAS.
L'énoncé précise que la solution existe (donc que a existe et cela il n'est pas question de devoir le démontrer) et compte tenu de cela demande de démontrer que cette solution ne peut être que la solution de l'équation cos(x) = x. C'est fondamentalement différent.
Mais pense ce que tu veux.
Il est évident que la valeur exacte du nombre a est la solution de l'équation cos(x) = x (qui n'est pas un nombre décimal et dont l'écriture décimale a une infinité de chiffres après la virgule).
Bof, évident, ça ne saute pas aux yeux non plus, surtout pour un élève de seconde.
La "valeur exacte" d'un nombre c'est le nombre lui-même. Qu'est-ce que le nombre
Ce que l'énoncé dit, en termes mathématiques, c'est que le nombre
Faut-il alors montrer que
Si vous ne voulez pas rédiger de correction, pour qu'on puisse en finir, pouvez-vous au moins définir
Re-salut,
Tout ceci est très intéressant au point de vue mathématique ; personnellement je me suis juste attaché à tenter de répondre à la question posée :
Question:
Expliquer pourquoi le nombre a doit être solution de l'équation cos(x) = x.
Je sais l'expliquer avec le théorème des valeurs intermédiaires puis ou avec le théorème du point fixe en montrant que la fonction cos est contractante, mais je ne vois pas comment répondre à cette question avec des connaissances de classe de seconde.
Quelqu'un aurait-il une idée ?
Si vous avez d'autres propositions...
Salut Yzz,
On peut considérer ma réponse comme un "bidouillage" , je le conçois fort bien, mais elle correspond me semble-t-il à cette question.
Tout à fait.
douzaine semble vouloir répondre à un autre problème que celui qui est posé et tente de vouloir faire réécrire l'énoncé autrement, l'énoncé comporte des points de suspension "..." dont il s'obstine à na pas tenir compte.
De plus l'énoncé indique clairement (sans donc que l'élève doive le démontrer, ce qui serait hors portée de la Seconde) qu'il existe un nombre a vers lequel tend une la suite définie par :
U(n+1) = cos(U(n))
avec U(0) = cos(1)
lim(n--> +oo) U(n) = a
Ceci est dit dans l'énoncé avec des mots accessibles en Seconde plutôt qu'avec le formalisme des 3 lignes ci-dessus probablement non encore totalement maîtrisé en Seconde.
Ces 3 lignes, ne sont clairement pas à démontrer dans le cadre de l'exercice.
Ce qui est demandé est que , compte tenu des données de l'énoncé (qui peuvent se résumer dans les 3 lignes plus formelles que j'ai écrites et qui doivent être considérées comme vraies), il faut démontrer que a est la solution de cos(x) = x
Ce que ta réponse fait.
Il y a probablement d'autres méthodes pour y arriver, le plus dur est souvent de démontrer une évidence, ce qui est le cas ici.
l'énoncé comporte des points de suspension "..." dont il s'obstine à na pas tenir compte.
Bien que j'ai fait l'erreur de les appeler "pointillés" dans le message précédent, j'ai très bien compris qu'il y avait des points de suspension. Je répète cependant que la notation
U(n+1) = cos(U(n))
avec U(0) = cos(1)
lim(n--> +oo) U(n) = a
Comment voulez-vous qu'un élève qui ne connait ni la notion de récurrence ni celle de limite puisse reformuler l'énoncé ainsi?
Je crois qu'on a des approches différentes des maths (mais bon, je ne suis pas prof). A mon sens, l'énoncé permettrait seulement à un terminale de conjecturer ces trois lignes, et le terminale serait à même de démontrer (modulo cette conjecture) que
Comment voulez-vous qu'un élève qui ne connait ni la notion de récurrence ni celle de limite puisse reformuler l'énoncé ainsi?
Ce n'est pas utile, il faut juste être capable de comprendre le français pour saisir le sens de l'énoncé.
Quant à la notation cos(cos(cos(cos(...cos(cos(1))...)))), elle est juste une aide à la phrase :
"Il s'aperçoit qu'en tapant cos(1) et puis ensuite cos(Ans), cos(Ans), cos(Ans) et ainsi de suite, il finit par ...".
De nouveau, c'est évident si on comprend le français.
Si on le désire, on peut même virer de l'énoncé l'expression cos(cos(cos(cos(...cos(cos(1))...)))) qui n'est là que pour aider ceux qui ne comprennent pas le français.
L'énoncé serait alors complet et équivalent avec :
Harry joue avec sa calculatrice. Il s'aperçoit qu'en tapant cos(1) et puis ensuite cos(Ans), cos(Ans), cos(Ans) et ainsi de suite, il finit par obtenir une valeur dont les 9 premières décimales ne changent plus.
Question:
Expliquer pourquoi le nombre affiché dont les 9 premières décimales ne changent plus tend vers le nombre a qui doit être solution de l'équation cos(x) = x.
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A force de chercher des problèmes là où il n'y en a pas, on pédale dans la semoule et on ne peut pas progresser.
J'en reste là.
Bon je ne sais pas, pour moi un énoncé doit être clair et utiliser des notions définies.
Le nombre affiché sur la calculatrice à la fin ne change pas, il ne tend vers rien d'autre que lui-même,, il n'est pas plus lié à qu'à
, il n'a pas de "valeur exacte", etc...
Votre interprétation selon laquelle il faut supposer que ce phénomène se poursuit si on continue et que les itérations de sont de plus en plus proches est peut-être juste, mais à mon avis l'énoncé en question une fois reformulé pour un élève de seconde n'est pas traitable par un élève de seconde.
Si vous vouliez me convaincre de toute façon, il vous aurait suffi de rédiger une réponse de seconde: reformuler vos trois ligne "à la seconde" et rédiger une explication les utilisant.
Le nombre affiché sur la calculatrice à la fin ne change pas, il ne tend vers rien d'autre que lui-même,
C'est ce que je disais, tu ne comprends pas ce qui est écrit dans l'énoncé.
Tu confonds le nombre a avec l'affichage de ses 9 premières décimales et toutes tes interventions sont basées sur cette confusion.
Restons-en là... en tout cas avec moi.
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