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Niveau Reprise d'études
Hauteur et médiane dans un triangle isocèle
Posté par sgu35
Bonjour,
je voudrais savoir comment montrer que le pied de la hauteur issue du sommet A est au milieu du segment [BC] où ABC est un triangle isocèle avec AB=AC.
* modération > le niveau a été modifié en fonction du profil renseigné *aucun souci à poster ça en reprise d'études* 
salut
par définition de la médiatrice et de la hauteur d'un triangle, la hauteur issue du sommet A est la médiatrice du segment [BC] donc son pied est le milieu du segment [BC] ...
ça d'accord mais plus généralement comment montrer que hauteur et médiane en A dans un triangle isocèle en A sont confondues...
J'ai trouvé : si un triangle ABC est isocèle en A, sa hauteur issue de A partage le triangle en deux et si on note H le pied de la hauteur issue de A, on a deux triangles ABH et ACH qui sont isométriques car AB=BC, AH est un côté commun, et les angles et
sont de même mesure. Donc BH=CH et H est le milieu du segment [BC].
Bon, je me suis trompé : on ne sait pas si les angles et
sont de même mesure.
Par contre, on peut utiliser le théorème de Pythagore puisque les angles et
sont droits.
On trouve et
donc
donc
et la hauteur issue de A est aussi médiane en A.
DEF1 : la hauteur issue du sommet A est la perpendiculaire au segment [BC] passant par le sommet A
DEF2 : la médiatrice du segment [BC] est la perpendiculaire au segment [BC] passant par le milieu du segment [BC]
DEF3 : la médiatrice du segment [BC] est l'ensemble des points M du plan tels que MB = MC
DEF4: le milieu I du segment est l'unique point du segment [BC] tel que BI = IC (ou BI = BC/2
THE1 : si deux droites sont parallèles et ont un point commun alors elles sont confondues
THE2 : si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles
le triangle ABC est isocèle en A donc par définition AB = AC
donc d'après la DEF3 A appartient à la médiatrice du segment [BC]
de plus d'après la DEF4 le point I appartient à la médiatrice du segment [BC]
donc la droite (AI) est la médiatrice du segment [BC]
donc d'après la DEF2 elle est perpendiculaire au segment [BC]
tout comme la hauteur issue de A
donc d'après le THE2 elles sont parallèles ...
or elles ont le point commun A
donc d'après le THE1 elles sont confondues
...