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Hello ! problème de suites

Posté par stefcool (invité) 14-11-04 à 12:47

Bonjour, moi c'est stef,
j'ai besoin de votre aide.
Est ce que quelqu'un peut m'expliquer ça :

Montre par récurrence que la somme des n premiers carrés s'écrit : 1carré+ 2carré+ 3carré+ ...+n aucarré
= n(n+1)(n+2)/6

Merci d'avance !!

Posté par simone (invité)re : Hello ! problème de suites 14-11-04 à 13:12

La relation que tu souhaites démontrer par récurrence, appelons la R(n) puisqu'elle dépend de n
Dans un premier temps, tu va montrer que R(1)est vraie, il s'agit ici d'une simple vérification , en effet 1^2=\frac{1(1+1)(2\times1+1)}{6}.
Il faut ensuite montrer que si la véracité de R(n) entraîne celle de R(n+1).
or 1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 si R(n) est vraie. Sous cette hypothèse, on a donc 1^2+2^2+...+n^2+(n+1)^2=(n+1)\frac{n(2n+1)+6(n+1)}{6}=(n+1)\frac{2n^2+7n+6}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} donc R(n+1)est vraie et ceci pour tout n\geq 1
On a donc montré que pour tout n \geq 1, R(n) vraie entraîne R(n+1) vraie.

En résumé, on a montré
R(1) vraie
R(1)vraie entraîne R(2) vraie
R(2)vraie entraîne R(3) vraie
R(3)vraie entraîne R(4) vraie
...................................................
R(n)vraie entraîne R(n+1) vraie
....................................................
On a donc montré que pour tout n\geq 1
R(n) est vraie soit donc que pour tout n\geq 1, 1^2+2^2+....+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
salut

Posté par stefcool (invité)merci 14-11-04 à 13:17

merci beaucoup simone, je crois que j'ai compri !
@+


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