Une population de 20 000 oiseaux vit sur deux îles voisines A et
B, éloignées de toute autre terre.
Chaque année 20% des oiseaux de l'île A migre vers l'île B et 30% des oiseaux
de l'île B migre vers l'île A.

Les populations initiales son Ao et Bo avec Ao + Bo = 20 000.

1. Justifier que A(n+1) = 0.8 An + 0.3 Bn et que B(n+1) = 0.2 An + 0.7
Bn

2. On pose Un = An + Bn. Exprimer U(n+1) en fonction de Un. En déduire
que la suite Un est constante.

3. On pose, pour tout n appartient à N, Vn = 2An - 3Bn
a) Exprimer V(n+1) en fonction de Vn
b) En déduire que pour tout n appartenant à N, Vn = Vo/2^n

4. A l'aide des relations Un = An+ Bn et Vn = 2An - 3Bn  et des question
2. Et 3., exprimer An et Bn en fonction de Vo et de n.

5. Etudier le sens de variation des suites (An) et (Bn) en discutant
suivant le signe de Vo.

6. a) Montrer que - 60 000 inférieur ou égal à Vo inférieur ou égal
à 40 000 (- 60 000 < Vo < 40 000)

b) En déduire les inégalités | An - 12 000 | < (inférieur ou égal) 12
000 / 2^n, et, | Bn - 8 000 | < (inférieur ou égal) 12 000 / 2^n

c) Determiner un entier naturel No tel que Ano environ égal à 12 000
et Bno environ égal à 8000 à 1 près.