Bonjour pourriez vous m'aider sur le sujet suivant... si je vous demande c'est que je n'y arrive vriamenet pas et qui plus est, même mon prof de soutien n'y arrive aps ... je suis désespéré. La moindre petite indication me sera très utile .
On a trois cercles concentriques de centre 0 de rayon R1<R2<R3.  
On prend M1 Sur C1 (cercle de centre 0 de rayon r1), de meme pr M2 sur C2 et M3 sur C3....  
Il faut mùontrer que si M1 M2 M3 est équilatéral alors R1 + R2<ou égal à R3.... il faut faire ca avec une rotation j'avoue que je suis pris de cours .....  
JE suppose cette condition ... En posant A1 un point du cercle C1 je dois montrer qu'il existe deux triangles équilatéraux A1 A2 A3 et A1 A'2 A'3 tels que A 2 et A'2 sont sur C2 et A3 et A'3 sur C3 ...  
Je suppose que la encore c'est une histoire de rotation mais ne trouvant pas pr le 1 je ne trouve également pas pr le 2 ... je ne parle pas de la suite de lexo vu que je suis déja bloqué la dessus...  
Pouriez vous m'aider SVP   merci d'avance

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ya  une erreur ds l énoncé , voila la solution:
on considere le plan complexe
on note O(0),M1(a),M2(b)et M3(c)
comme les points forment un triangle equilateral alors on aura une equation de la forme a+bj+cj²=0 (
par suite:
R1=OA=|a|=|-bj-cj²|<|b|+|c|=OB+OC=R2+R3
R2=OB=|b|=|-a-cj²|<|a|+|c|=OA+OC=R1+R3
R3=OC=|c|=|-a-bj|< |a|+|b|=OA+OB=R1+R2
NB:les deux premieres relations n ont aucune valeur car on sait que R3 > R1 et R3> R2

j'ai deja trouvé la solution..utiliser la geometrie complexe


*** message déplacé ***

aaaaa ok merci ... c'etait pas ce qui etait demande vu que il fallait soit disant utiliser des rotations mais bon je trouve cette méthode facile et rapide! merci bcp...
pour la suite dois je faire pareil?

je doi partir mnt..
je vai te repondre aprés car g ps le temps mnt

Le problème se résout très simplement avec les rotations (quand on a un triangle équilatéral, il faut souvent penser à une rotation d'angle pi/3)
Si l'on effectue cette rotation de centre M1 d'angle pi/3, M2 est transformé en M3, et O en un point O' ( M1OO' est équilatéral).  Alors OO'=R1 O'M3=OM2=R2 et OM3=R3
Il ne reste plus qu'à écrire l'inégalité triangulaire dans le triangle OO'M3
Pour la deuxième question, il suffit de faire une rotation de centre A1 d'angle pi/3: le transformé du cercle C2, C'2 va couper C3 en deux points qui sont A3 et A'3 (leur existence vient de la condition sur les rayons)
Pour obtenir A2 et A'2, on aurait pu faire la rotation inverse

C'est quoi un prof de soutien?...

eu ca voulait dire prof particulier lol
par contre je comprends pa trop parce que la ca ferait 4 solutions 2 si rotation dangle pi / 3 et 2 dangkle - pi / 3 donc en plus ca répond pas à la fin de la question non? merci quand meme la premeire question j'ai compris maintenant !

la première rotation donne les points A3 et A'3 de C3 et l'autre A2 et A'2 de C2 donc 2 triangles équilatéraux A1A2A3 et A1A'2A'3 comme indiqué (C'2 est l'image de C2 et C3 l'image de C'3 dans la rotation de centre A1 d'angle pi/3

dsl je n'ai pas compris le raisonnement sur ce coup la ...

Le problème:
JE suppose cette condition ... En posant A1 un point du cercle C1 je dois montrer qu'il existe deux triangles équilatéraux A1 A2 A3 et A1 A'2 A'3 tels que A 2 et A'2 sont sur C2 et A3 et A'3 sur C3 ...  
Ma solution:
il suffit de faire une rotation de centre A1 d'angle pi/3: le transformé du cercle C2, C'2 va couper C3 en deux points qui sont A3 et A'3 (leur existence vient de la condition sur les rayons). Pour obtenir A2 et A'2, on aurait pu faire la rotation inverse
En effet si C'2 est le transformé de C2 et C3 celui de C'3 par cette rotation (donc C'3 transformé de C3 dans la rotation inverse) et si les points d'intersection de C2 et C'3 sont A2 et A'2, et ceux de C3 et C'2 A3 et A'3 avec A3 transformé de A2 et A'3 transformé de A'2 dans la rotation alors A2A3=A1A2=A1A3 et A'2A'3=A1A'2=A1A'3
Les deux triangles A1A2A3 et A1A'2A'3 sont équilatéraux non?

aaaaaa ok lol merci !!!
par contre jer suis tjrs bloqué pr la suite lol je suis désolé jarrive a rien avec cet exo ... (jai honte si vous pouviez me conseiller!!!)
ils me disent de trouver tous les triangles équilatéraux M1M2M3 inscrits ds les trois cercles apartir des triangles précédents


puis en utilisant les cplexes, il faut trouver la longuer du coté des triangles équilatéraux A1A2A3 et A1 A'2A'3 en fonction de R1 R2 R 3 (completement largué )
Et déterminer l'angle (0A2, OA'2)
MErci d'avance pour vos réponses et merci déja a toi  piepalm d'etre patient avec un petit eleve de MPSI qui a du mal en math

Trouver tous les triangles équilatéraux M1M2M3 inscrits ds les trois cercles a partir des triangles précédents:
je suppose qu'"inscrit dans les trois cercles" veut dire que M1 est sur C1, M2 sur C2 et M3 sur C3; auquel cas , dans la rotation de centre M1 d'angle pi/3, M2 se transforme en M3 et comme M2 est sur C2 M3 est sur C'2 transformé de C2: on retrouve la construction précédente

puis en utilisant les cplexes, il faut trouver la longuer du coté des triangles équilatéraux A1A2A3 et A1 A'2A'3 en fonction de R1 R2 R 3 :
Toute rotation de centre O laissant la figure inchangée, on peut prendre A1 sur l'axe des réels donc d'affixe R1;
Soit x est la longueur du coté cherchée, et t-pi/6 et t+pi/6 les arguments de A1A2 et A1A3 (ils se déduisent dans une rotation, d'angle pi/3, et j'ai pris cette formulation pour la symétrie des calculs)
L'affixe de A2 est donc R1+xe^i(t-pi/6) et celle de A3 R1+xe^i(t+pi/6) Or A2 est sur C2 et A3 sur C3 donc
(R1+xcos(t-pi/6))^2+x^2(sin(t-pi/6)^2=R2^2 et (R1+xcos(t+pi/6))^2+x^2(sin(t+pi/6)^2=R3^2
R1^2+2R1xcos(t-pi/6)+x^2=R2^2 et R1^2+2R1xcos(t+pi/6)+x^2=R3^2 ou encore
x^2+xR1(rac(3)cost+sint)+R1^2-R2^2=0 et x^2+xR1(rac(3)cost-sint)+R1^2-R3^2=0
En faisant somme et différence 2xR1rac3cost=R2^2+R3^2-2R1^2-2x^2 et 2xR1sint=R2^2-R3^2, et puisque cost^2+sint^2=1
4x^2R1^2=(R2^2+R3^2-2R1^2-2x^2)^2 /3+(R2^2-R3^2)^2 équation du second degré en x^2:
4x^4-4x^2(R1^2+R2^2+R3^2)+4(R1^4+R2^4+R3^4)-4(R2^2R^3^2+R3^2R1^2+R1^2R2^2)=0
Les deux racines en x^2 donnent les deux valeurs admissibles pour les cotés (positives)
En écrivant que A2 d"affixe R2e^it (ce n'est pas le même t que plus haut) est tel que le carré du module de A1A2 vaut x^2 on trouve alors les valeurs de arguments de A2 et A'2

pour être honnete je n'y aurais jamais pensé mdr!!!! j'ai compris parfaitement le calcul de x et tout mais apres ca fait vraiment des calculs compliqusés car apres faut trouver le module de z2-z1 (affixes de A1 et A2)... n'est ce pas ???
et pour l'angle par contre je comprends pas ... pkoi il faut que A1A2 au caré soit gal ) x² (encore des calculs lourds en perspective...)

Cette question est en effet beaucoup plus calculatoire que les premières
On aurait pu aussi essayer de déterminer directement l'affixe z2, mais je crois que c'est plus compliqué.
Je crois qu'il est plus simple, comme je le propose, de déterminer d'abord x (2 valeurs pour A1A2 et A1A'2), puis ensuite les arguments de A2 et A'2 (dont les modules sont R2) en écrivant que A1A2 et A1 A'2 ont pour longueur les deux valeurs de x: il est toujours plus simple, lorsqu'on a la partie réelle et la aprtie imaginaire, d'écrire que le carré est égal à x^2

c'est normal que pr arg(z2) et z'2 je trouve des arccosin?
je trouve arcos (R1² + r2² - R3² +ou - racine(delta))/(4R1R2)
donc si je fai la différnece pour trouver mon angle ja vias pa trop pouvoir simplifier? non?

S'il vous plait merci d'avance aidez moi

"la première rotation donne les points A3 et A'3 de C3 et l'autre A2 et A'2 de C2 donc 2 triangles équilatéraux A1A2A3 et A1A'2A'3 comme indiqué (C'2 est l'image de C2 et C3 l'image de C'3 dans la rotation de centre A1 d'angle pi/3" >>>

a ce moment tu fais bien l'hypothese que les triangles recherche sont equilateraux direct non ? ce qui n'est pas indiqué par l'enoncer...

car si on cherche les triangles direct ET indirect les 2 rotations permettent d'obtenir 4 triangles chacun (les meme evidement ^^)