salut
s(n,r)=somme(de k=0 a n) de C(r+k,k)*x^k

(1-x)*s(n,r)=(1-x)*somme(de k=0 a n) de C(r+k,k)*x^k
on developpe :
(1-x)*s(n,r)=somme(de k=0 a n) de C(r+k,k)*x^k-somme(de k=0 a n) de C(r+k,k)*x^k+1
on va separer de la premiere somme le premier terme,et le dernier terme de la seconde somme.

donc (1-x)*s(n,r)=1+somme(de k=1 a n) de C(r+k,k)*x^k-somme(de k=0 a n-1) de C(r+k,k)*x^k+1
-C(r+n,n)*x^(n+1)


pour la deuxieme somme, on va faire un changement d'indice
on prend k'=k+1
donc (1-x)*s(n,r)=1+somme(de k=1 a n) de C(r+k,k)*x^k-somme(de k'=1 a n) de C(r+k'-1,k'-1)*x^k'
-C(r+n,n)*x^(n+1)

on rassemble les 2 sommes et dans la deuxieme somme on peut mettre k a la place de k' car ce n'est
qu'une variable.
(1-x)*s(n,r)=[somme(de k=1 a n) de C(r+k,k)*x^k-somme(de k=1 a n) de C(r+k-1,k-1)*x^k]
             +1-C(r+n,n)*x^(n+1)

(1-x)*s(n,r)=somme(de k=1 a n) de [C(r+k,k)-C(r+k-1,k-1)]*x^k+1-C(r+n,n)*x^(n+1)
            
or C(r+k-1,k-1)+C(r+k-1,k)=C(r+k,k)
donc C(r+k,k)-C(r+k-1,k-1)=C(r+k-1,k)

donc (1-x)*s(n,r)=somme(de k=1 a n) de [C(r+k-1,k)]*x^k+1-C(r+n,n)*x^(n+1)
                  

or 1=C(r-1,0)*x^0
on peut donc "mettre" le "1" dans la somme.
donc (1-x)*s(n,r)=somme(de k=0 a n) de [C(r+k-1,k)]*x^k-C(r+n,n)*x^(n+1)

ce qui fait (1-x)*s(n,r)=s(n,r-1)-C(r+n,n)*x^(n+1)

a+

c tré gentil g réussi a déchiffrer et a comprendre merci encore bonna année lami!!