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HELP variations de l aire et joyeux nowwel!

Posté par K-tsuo911 (invité) 25-12-04 à 18:42

BONSOIR ET JOYEUX NOËL TT LE MONDE!!

Voilà j'ai grand besoin de vous pour ce DM qui me pose problème depuis le début des vacances et en plus de cela je n'ai vraiment compris!!

Voilà l'énoncé:
ABC est un triangle rectangle en A avec AB=4 et AC=3. M est un point qui décrit le segment [AC]. On pose AM=x avec 0x3.

1.a.Lorsque x=0.6, calculer MN puis l'aire du rectangle.
  b.Dans le cas général, on notera f(x) l'aire du rectangle avec x[0;3], montrer que f(x)=4x-(4/3)x2
2.a.Visualiser la courbe représentative de f sur votre calculatrice et conjecturer la valeur de l'aire maximale et la position du point M correspondant à cette aire.
  b.Montrer que pour tout réel x, on a f(x)=-(1/3)(2x-3)2+3
  c.Utiliser ce résultat pour déterminer l'aire maximale et la position du point M correspondant à cette aire.
3.a.Démontrer que l'équation f(x)=1 équivaut à l'équation (x-(3/2))2=(3/2) puis résoudre cette équation et comparer le résultat obtenu à la conjecture du a.

Voilà cela fait belle lurette que je bosse dessus et que je ne comprends vraiment pas alors je fais un avis de recherche sur la personne qui voudrait bien m'aider en la remerciant énormement !!

VOilà je vous dis à très vite et je vous souhaite un MERVEILLEUX NOËL A TOUS!!

HELP variations de l aire et joyeux nowwel!

Posté par Emma (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 19:04

Salut K-tsuo911 HELP variations de l aire et joyeux nowwel!

Et Joyeux Noël à toi aussi

Désolée, mais... ton énoncé me semble incomplet ...
Où est le point N ?
Et de quel rectangle s'agit-il dans la question 1 ?

Bon, sinon, il y a bien des questions auxquelles tu as sû répondre, non ?
Si oui, n'hésite pas à proposer tes réponses pour qu'on les vérifie

@+
Emma HELP variations de l aire et joyeux nowwel!

Posté par K-tsuo911 (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 19:23

SALUT EMMA!!!

je suis désolé, je dispose d'une figure mais je ne peux pas l'envoyer car elle ne fait pas partie des gif. etc.....sinon pour répondre à tes questions,
On construit le rectangle AMNP où N est un point du segment [BC] et P un point du segment [AB].petit oublie de ma part
Sinon je n'ai pas écrit les questions auquels j'ai trouvé les réponses.

Voilà merci encore pour ton aide!!!!!
  

Posté par
Nightmarere : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 19:24

Bonjour

Je ne me méle pas du probléme mathématique mais du probléme informatique . Si ta photo est sur ton ordinateur mais que tu n'arrives pas à la mettre tu peux toujours me l'envoyer je la mettrai


jord

Posté par Emma (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 19:27

OK, alors le schéma est le suivant :

HELP variations de l aire et joyeux nowwel!

Posté par Emma (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 19:27

hihi coucou Nightmare

Posté par
Nightmarere : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 19:29

Tu m'as devancé Emma

( Joyeux vrai jour de noël au fait )


Jord

Posté par K-tsuo911 (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 19:31

C'est très gentil de ta part NIGHTMARE vraiment je te remrcie mais EMMA a très bien recu le schéma, alors merci a tous les deux!!!!! ça fait plaisir!!

Posté par
Nightmarere : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 19:32

Au moin maintenant tu es au courant que si tu as un probléme tu peux me contacter

Joyeux vrai jour de noël à toi aussi D'ailleur je me demande ce que vous faites à faire des maths en plein jour de noël !!


Jord

Posté par K-tsuo911 (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 19:34

Super sympa de ta part Nightmare.....c'est vrai au faites merci pour ce qui m'aide en cette belle soirée de nowwel!!!

Posté par Emma (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 19:42

Alors, compte tenu que le triangle ABC est rectangle en A... pourquoi ne pas travailler dans le repère centré en A, et dont (AC) serait l'axe des abscisses et (AB) celui des ordonnées ?
(c'est-à-dire le repère orthonormé \large (A \; ; \; \vec{i} \; ; \; \vec{j}) avec
--> \large \vec{i}\; = \;\frac{1}{||\vec{AC}||} . \vec{AC} (vecteur unitaire, de même sens et même direction que \vec{AC}
et
--> \large \vec{j}\; = \;\frac{1}{||\vec{AB}||} . \vec{AB} (vecteur unitaire, de même sens et même direction que \vec{AB}

Dans ce repère : \array{cc $ A & (0\; ; \;0) \\ \vspace{5} \\ B & (0\; ; \;4) \\ \vspace{5} \\ C & (3\; ; \;0) \\ \vspace{5} \\ M & (x\; ; \;0) \\ \vspace{5} \\ N & (x\; ; \;?) \\ \vspace{5} \\ ...

Ainsi, connaissant les coordonnées des points B et C, tu vas pouvoir déterminer l'équation de la droite (BC)

Et donc en déduire les coordonnées du point N

Et donc utiliser la formule qui permet de calculer la distance entre deux points dont on connaît les coordonnées dans un repère orthonormé...

Bons calculs

Et...Joyeux Noël à toi aussi, Nightmare

@+
Emma HELP variations de l aire et joyeux nowwel!

Posté par K-tsuo911 (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 21:46

re!!!
Eh bien j'ai essayé de faire les calculs mais je me rends compte que nous n'avons fait aucune leçons dessus!!!!Donc voilà si qqun voudrait bien m'expliquer ce passage et par la même occasion l'exercice entier

PS je sais que c'est un peu beucoup et que c'est nowwel mais SVPPP!!!

Posté par
Nightmarere : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 22:56

Re

Personnelement je ne vois pas pourquoi Emma est passée par là

En plus sa résolution comporte ,si je vois bien , des produits scalaires qui ne sont étudier qu'en 1ére ...

Enfin bon , voici ma résolution :

Je te laisse le soin de faire la figure

AMNP est un rectangle donc (MN)//(AP) . Or , P\in[AB] donc (MN)//(AB)

On en déduit d'aprés le théoréme de Thales :
\frac{CM}{CA}=\frac{MN}{AB}
soit :
\frac{3-x}{3}=\frac{MN}{4}
donc :
MN=4\times\(\frac{3-x}{3}\)

On en déduit dans le cas ou x=0,6 :
MN=4\times\(\frac{3-0,6}{3}\)
c'est a dire par un calcul laborieux :
MN=3,2

De plus , l'aire du rectangle est :
A=AM\times MN soit :
A=0,6\times3,2=1,92

Maintenant dans le cas général nous avons dit :
MN=4\(\frac{3-x}{3}\)
c'est a dire :
MN=4-\frac{4}{3}x

On en déduit l'aire du rectangle en fonction de x :
f(x)=x\times\(4-\frac{4}{3}x\)
i.e :
f(x)=4x-\frac{4}{3}x^{2}

Par la suite , si tu regardes bien ta calculette tu devrais trouver que l'aire était maximale au point x=\frac{3}{2} et qu'en ce point elle valait 3

b)En développant ce qu'on te donne :
\begin{tabular}\frac{-1}{3}(2x-3)^{2}+3&=&-\frac{1}{3}(4x^{2}-12x+9)+3\\&=&-\frac{4}{3}x^{2}+4x-3+3\\&=&4x-\frac{4}{3}x^{2}\\&=&\fbox{f(x)}\end{tabular}

Nous savons que pour tout x :
(2x-3)^{2}\ge0
donc :
-\frac{1}{3}(2x-3)^{2}\le0
et par la suite :
-\frac{1}{3}(2x-3)^{2}+3\le3
soit :
f(x)\le3

Nous avons démontrer que quelque soit x , la valeur maximun que pouvait prendre f(x) était 3 , cette valeur est donc le maximum recherché .
cette valeur est atteinte lorsque : -\frac{1}{3}(2x-3)^{2}=0
soit :
(2x-3)^{2}=0
c'est a dire :
2x-3=0
soit :
x=\frac{3}{2}

L'aire maximale sera donc 3 atteinte lorsque la distance AM est égale à \frac{3}{2} . Ca tombe bien , c'est ce que l'on avait conjecturé !

\rm\begin{tabular}f(x)=1&\Longleftrightarrow&-\frac{1}{3}(2x-3)^{2}+3=1\\&\Longleftrightarrow&-\frac{1}{3}(2x-3)^{3}=1-3\\&\Longleftrightarrow&-\frac{1}{3}(2x-3)^{2}=-2\\&\Longleftrightarrow&(2x-3)^{2}=-2\times-3\\&\Longleftrightarrow&(2x-3)^{2}=6\\&\Longleftrightarrow&[2\(x-\frac{3}{2}\)]^{2}=6\\&\Longleftrightarrow&2^{2}\(x-\frac{3}{2}\)^{2}=6\\&\Longleftrightarrow&\(x-\frac{3}{2}\)^{2}=\frac{6}{4}\\&\Longleftrightarrow&\fbox{\(x-\frac{3}{2}\)^{2}=\frac{3}{2}}\\&\Longleftrightarrow&\|x-\frac{3}{2}\|=\sqrt{\frac{3}{2}}\\&\Longleftrightarrow&x-\frac{3}{2}=\sqrt{\frac{3}{2}}~ou~x-\frac{3}{2}=-\sqrt{\frac{3}{2}}\\&\Longleftrightarrow&\fbox{x=\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}~ou~x=\frac{3}{2}-\sqrt{\frac{3}{2}}}\end{tabular}

je te laisse conclure


jord

Posté par Emma (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 23:35

En effet, Nightmare, le théorème de Thalès était un outil bien plus adapté ici !!...

Par contre, ma technique ne faisait absolument pas appel au produit scalaire : ||\vec{AC}|| (la norme du vecteur \vec{AC}) est un nombre réel non nul ; donc j'ai introduit le réel \mu\;=\;\frac{1}{||\vec{AC}||}, et j'ai considéré le produit de ce réel par le vecteur \vec{AC} : \large%20\vec{i}\;%20=%20\;\frac{1}{||\vec{AC}||}%20.%20\vec{AC}

Le vecteur \vec{i}\;=\;\mu.\vec{AC} est le vecteur
--> colinéraire au vecteur \vec{AC}
--> de même sens que \vec{AC} puisque \mu\;>\;0
--> de norme égale à :
\;\;\;\;\;\array{ccl $ ||\;\mu.\vec{AC}\;|| & = & |\;\mu\;|\;.\;||\vec{AC}|| \\ \vspace{5} \\ & = & \frac{1}{||\;\vec{AC}\;||}\;.\;{||\;\vec{AC}\;||}\;\;\;\;\; \\ \vspace{5} \\ & = & \frac{||\;\vec{AC}\;||}{||\;\vec{AC}\;||} \\ \vspace{5} \\ & = & 1 car \;\;\;\;\;\array{ccl $ |\;\mu.\;| & = & |\;\;\frac{1}{||\;\vec{AC}\;||}\;\;| \\ \vspace{5} \\ & = & \;\frac{1}{||\;\vec{AC}\;||}

Si je me permets d'insister, c'est parce que c'est une technique importante à connaître :
<font color=red><b>Si l'on veut un vecteur unitaire (c'est-à-dire de norme égale à 1) qui soit colinéraire à un vecteur \red \vec{u}\;\neq\;\vec{0} donné, et bien il suffit de considérer le vecteur 4$ \red \;\;\vec{v}\;=\;\frac{1}{||\;\vec{u}\;||}\;.\;\vec{u}</b></font>

HELP variations de l aire et joyeux nowwel!

Posté par
Nightmarere : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 25-12-04 à 23:40

Ah oui Emma en effet , autant pour moi j'avais pris le point pour un produit scalaire

Merci de la précision


jord

Posté par Emma (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 26-12-04 à 00:13

Bon, je n'ai pas pu résister : j'ai quand même rédigé une solution faisant intervenir ma méthode, au cas où des lecteurs curieux (peut-être toi, K-tsuo911 ) passeraient par là

Alors, dans le repère (A ; \vec{i} ; \vec{j}) défini dans mon message de 19:42,
-  B (0 ; 4)
-  C (3 ; 0)

La droite (BC) a donc une équation de la forme y\;=\;m.x\;+\;p

On sait que B (0 ; 4) (BC) ; \;\;\; donc \;\;\;y_B\;=\;m\;.\;x_B\;+\;p
C'est-à-dire \;\;\;4\;=\;m\;\times\;0\;+\;p\;\;\;\;; et donc \;\;\;p\;=\;4

Ainsi,\;\;\;(BC)\;\;:\;\;y\;=\;m\;.\;x\;+\;4

D'autre part, puisque C (3 ; 0) (BC) ; \;\;\; on peut écrire que \;\;\;y_C\;=\;m\;.\;x_C\;+\;p
c'est-à-dire \;\;\;0\;=\;m\;\times\;3\;+\;4\;\;\;\;; et donc \;\;\;m\;=\;-\frac{4}{3}

Finalement, \array {|c250| $ \hline \vspace{5} \\ (BC)\;\;:\;\;y\;=\;-\frac{4}{3}\;.\;x\;+\;4 \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline

Or N (x ;y_N) appartient à (BC).
Donc y_N\;=\;-\frac{4}{3}\;.\;x\;+\;4\;\;\; et \;\;\;\array {|c200| $ \hline \vspace{5} \\ N\;(x\;\;;\;\;-\frac{4}{3}\;.\;x\;+\;4) \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline

Or \;\;\;\array{ccl $ MN & = & \sqrt{(x_N-x_M)^2\;+\;(y_N-y_M)^2} \\ \vspace{5} \\ & = & \sqrt{0\;+\;(4\;-\;\frac{4}{3}\;.\;x\;-\;0)^2}

Joie : je trouve le même résultat que Nightmare :
\red \;\;\;\array {|c200| $ \hline \vspace{5} \\ MN\;\;=\;\;4\;-\;\frac{4}{3}\;.\;x \vspace{5} \\ \vspace{5} \\\hline

Dois-je rappeler que ce n'est pas une méthode très performente ici

Mais un élève de seconde courageux, et qui aurait cette drôle d'idée (il en existe peut-être un ) aurait quand même réussi à répondre aux questions

@+
Emma HELP variations de l aire et joyeux nowwel!

Posté par
Nightmarere : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 26-12-04 à 02:09

Re Emma

Personnelement j'aime bien ta méthode
Bon ça complique un peu les choses mais au moin ça met du piment dans les exercices


jord

Posté par Emma (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 26-12-04 à 02:28

.
lol merci Nightmare
(déjà, de l'avoir lue, et en plus, de dire que tu l'aimes )

Allez... il est temps...Bonne nuit HELP variations de l aire et joyeux nowwel!

Posté par K-tsuo911 (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 26-12-04 à 12:30

BONJOUR VOUS DEUX!!!!

MERCI BEAUCOUP EMMA AINSI QUE NIGHTMARE POUR VOTRE AIDE TRES TRES TRES TRES UTILE !!!!!!

PS Merci encore........bientot la nouvelle année

Posté par Emma (invité)re : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 26-12-04 à 12:54

Pas de quoi, K-tsuo911

(et désolée de t'avoir envoyé sur une mauvaise piste )

@+
Emma

Posté par
Nightmarere : HELP variations de l aire et joyeux nowwel! 26-12-04 à 13:31

Toujour un plaisir de t'aider K-tsuo


Jord

Posté par K-tsuo911 (invité)CA FAIT PLAISIR!! 26-12-04 à 14:00

ça me touche beaucoup ce que vous venez de dire tous les deux, j'crois que je vais verser une petite larme!!Non sérieusement merci encore pour votre aide ça fait toujours plaisir!!


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