Un triangle équilatéral et un hexagone régulier ont le même périmètre. L'aire du triangle est de 2004 cm².
Quelle est l'aire de l'hexagone ?
Bon courage.
Clôture de l'énigme : dimanche soir.
@+
Bonsoir,
Un hexagone régulier est composé de 6 triangles équilatéraux de longueurs de coté h donc sont périmètres vaut 6h.
Le périmètre d'un triangle équilatéral de longueur de coté c est 3c.
On a donc 3c=6h soit
les triangles équilatéraux formant l'hexagone sont donc de coté "deux fois plus petit" que le triangle équilatéral et donc ont une aire 4 fois plus petite que le triangle équilatéral.
Par conséquent si l'aire du triangle équlilatéral est de 2004 cm² (je vois que 2004 fut un grand cru pour les problèmes mathématiques en sera t-il de même pour 2005 ) alors l'aire d'un des six triangles équilatéraux formant l'hexagone régulier sera de et donc l'aire de l'hexagone sera de
Salut
Salut!
J'dirais A = [racine(8016/racine3)*3*racine3]/4
88.37cm²
J'crois que j'vais me faire virer du classement
Mais bon le plus important c'est de participer.
@+
hexagone a pour aire 2004 cm²
vu qu'il n'y a qu'un étoile au sujet pas de alcul
( mais s'il y aurait eu 4 étoile j'aurais fait un dessin avec le calcul )
L'égalité des périmètres signifie que le côté de l'hexagone (6côtés égaux) est la moitié de celui du triangle (3 côtés égaux).
La surface d'un hexagone est égale à celle de 6 triangles équilatéraux de côté celui de l'hexgone.
L'aire d'un triangle équilatéral dont le côté est la moitié d'un autre triangle équilatéral est 4 fois plus petite que celle de l'autre .
Donc Aire Hexagone = 6/4 *2004 = 3006 cm2.
je vais essayer de trouver mais bon je suis de moin en moins sur de moi tout au long des calcul
dsl pour les fautes d'orthographes
on a ^ signifi puissance (2^2=2²)
soit h la hauteur du triangle et c la longueur d'un de ses coté on a h²+(c/2)²=c²(1)
et l'air du triangle est A= 2(h * c/2) (2)
grace a (2) on obtien A/c=h
on remplace dans (1) (A/c)²=3c²/4
donc c^4=4A²/3
donc c= (2A)^(1/2)/3^(1/4)
on a m coté de l'hexagone on a 3c=6m donc m=c/2
on a donc m= (2A)^(1/2)/(3^(1/4)*2)
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or la somme des angles d'un hexagone regulier doit etre egale a 720°
on a donc chaque angle qui est egal a 720/6=120°
on peut decomposer l'hexagone en un rectangle central de coté m et y et deux triangle isocéle lateraux leur coté egaux valant m et leur 3 eme etant y
les angles de la base du triangles isocéle valent
120-90=30°
on note k la hauteur issue de l'angle de 120° des triangles
(dsl c'est trés confut il faudrais un schema )
on a cos(30)=y/2 x 1/m
et sin(30)= k x 1/m
donc y= 2m cos(30)
et k= m sin(30)
or l'aire du rectangle est Ar= m * y=2m²cos(30)
l'aire d'un triangle est At = 2(k*y/2)=2m²cos30*sin30
donc l'air total est Atot= Ar+ 2At
Atot=2m²(cos30+2*cos30*sin30) or
2 cos30 sin30 = sin (2*30)
donc Atot= 2m²(cos 30 + sin 60)
on calcule donc
Atot= 2* ((2A)^(1/2)/(3^(1/4)*2))² * (2* (3^(1/2)/2))
Atot= 2* (2A/(3^(1/2)*4))*3^(1/2)
Atot=A
Atot= 2004 cm²
il n'y a donc pas de changement d'aire ce qui me parais trés etrange enfin bon je ne sais pas, peut être....
salut
bon alors on note A l'aire du triangle
A' l'aire de l'hexagone
c le coté du triangle
c' le coté de l'hexagone
par hypothese on a 3xc=6xc' donc c'=1/3c
A=1/2xhxc or c²=h²+(1/2c)² donc h=racine3xc/2
A'=3/2xc'²xracine3
A=1/2 x (racine3 x c /2) x c = 1/2 x racine3/2 x c²
donc c²=4A/ racine3
d'oû c'²=1/9 x 4A/ racine3
A'=3/2 x 1/9 x 4A/ racine3 x racine3
A'=1336 cm²
CQFD
Un bon dessin valant mieux qu'un long discours
Si le périmètre du triangle est le même que celui de l'hexagone, le côté de l'hexagone est la moitié de celui du triangle.
On montre que le triangle peut être constitué de 4 triangles bleus et l'hexagone de 6.
L'aire de l'hexagone vaut donc de celle du triangle soit
3006 m2
Bonsoir,
soit x la longueur du triangle et a celle de l'hexagone.
L'aire d'un trangle est (base*hauteur)/2
la base=x
on calcule l'hauteur grâce au théorème de pythagore et on a h²=0.25x²
h=3 x/2
donc aire=3 x²/4=2004
donc x=((4*2004)/3)
x=4(((3*167)/3)
Par ailleurs on a 3x=6a
donc a=2*(((3*167)/3)
Reste à calculer l'aire de l'hexagone
l'hexagone régulier est inscrit dans la cercle de rayon a.
On découpe cet hexagone en 6 triagle équilatéraux.
On a donc A(hexagone)=6*A(triangle)
APrès le calcul de l'huateur comme précédemment, on traouve que l'aire de l'hexagone vaut 3006 cm²
Aire de l'hexagone=3006 cm²
C'est bon?
Connaissant l'aire, on arrive à trouver la mesure d'un côté du triangle, qui est de c 48,1 cm. Son périmètre est donc de P 144,31 cm.
Ce périmètre est également celui de l'hexagone, ce qui indique que la mesure d'un côté est d'environ 24,05 cm. On peut calculer la mesure de l'apothème de l'hexagone, et on trouve que a 20,83 cm.
Finalement, on peut calculer l'aire de l'hexagone, et on obtient 1503 cm2.
Bonjour. La réponse que je crois juste , est que j'ai trouvée à cette question est 3003 cm2 .
Prenons L la longueur des côtés du triangle équilatéral .En effet , l'aire du triangle équilatéral est égal à (L*hauteur)/ 2
On trouve donc ainsi que h=racine carrée de (L2-(L2/4))car L2 (lire L carré) = (L/2)carré+hcarré
Donc , l'aire du triangle équi. est égale à (L*(racine carrée de (Lcarré-Lcarré/4))/2. On peut ainsi factoriser l'intérieur de la racine par L pour marquer que l'aire est égale à Lcarré * racine de 3/4 le tout sur 2. Donc , on trouve que le L est égal à 68. On trouve donc, que comme le périmètre du triangle est égal à celui de l'hexagone , que l (côté de l'hexagone) est égal à 68/2 soit à 34. Or l'aire de l'hexagone régulier est égale à (3racine de 3)/2 * lcarré. Donc on trouve , en remplaçant l par 34 , que l'aire de l'hexagone est approximativement de 3003 cmcarré
Bonsoir,
6 bonnes réponses et 6 réponses fausses pour cette énigme à une étoile. On pouvait effectivement la résoudre au niveau collège (voir la réponse de dad97).
Bravo pour les gagnants...
A bientôt pour une nouvelle énigme...
choisissant A comme cote de triangle et x comme cel de l'hexagone regulier.3A est egal a 6x ce qui donne A est egal 2x cherchant A aire de triangle est A carre sur 4 d'ou on a x est racine de 2004 aire de l'hexagone est 3fois recine de 3 fois x carre tout divise par 2 d'ou l'aire est 5206.54 cm carre
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