Il semblerait que ce soient les puissances de 3...Comment le démontrer?

bonjour

(2n+1)/n = 2+1/n

pour avoir ce résultat entier il faut soit n=1 soit n=-1

n=1 => 3 divisible par 1

n=-1 => 1 divisible par -1

Vérifie...

Philoux

Problème pour les profs
Une nouvelle histoire d'entiers

Trouvez tous les entiers n différents de 0 qui vérifient la propriété suivante :
+ 1 est divisible par n

Il semblerait que les puissances de 3 soient solutions (unicité,démonstration?)...

1er échauffement :  n  divise   on a déjà que  n  est impair.
2 ième échauffement : si  p  premier  divise
alors  p = 3 (petit Fermat).
3 ième échauffement : De même si  p  premier et que   divise   alors en regardant moudlo p  on   a encore  p = 3 .

Si  a  est impair , il existe un polynôme à coefficients entiers tels que :
  en particulier si
et  a= 3 on tire par récurrence que le résultat fonctionne pour les puissances de  3 , reste à voire que ce sont les seules .

lolo

il faut bien sûr écrire le terme en R en entier pour cette conclusion (R dépend de a ).

lolo

bon alors comme j'ai séché j'ai demandé à quelqu'un adepte des ordinateurs :

171 - 513 - 1539 - 3249 - 4617 - 9747 - 13203 - 13851 - 29241 - 39609 - 41553 - 61731 - 87723 - 97641 - 118827 - 124659 - 185193 - 250857 - 263169 - 292923 - 354537 - 356481 - 373977 - 555579

sont les exemples non puissances de  3  qui conviennent aussi (enfin j'ai pas vérifié les points à la main)

Donc le problème est résolu...il n'y a pas que les puissances de 3 quand à caractériser c'est une autre histoire.

lolo

En effet, il suffit de remarquer que 2^9+1=513=3^3*19 pour en déduire que 2^(9*19)+1 est divisible par 9*19; ça marche pour d'autres combinaisons de 9 et 19 (voir les valeurs données par l'informatique...)
pour la suivante 2^27+1=134217729=3^4*19*87211
donc 2^(27*87211)+1 est divisible par 27*87211=2354697, etc...
De façon générale, si 2^(3^k)=3^(k+i)*p1*...*pn
2^(3^k*P)+1 est divisible par 3^k*P si P est un produit d'un nombre quelconque de nombres premiers pj ...

d apres bezout
(2n+1)-2*n=1
il exite (1;-2) couple de N
donc 2n+1 ne divisera jamais n