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Histoire de suites...
Bonjour à tous,
Deux petites questions me posent problème. L'énoncé de l'exercice est le suivant:
Soit (Un) la suite définie pour tout entier n non nul par Un= 1/1! + 1/2! + 1/3! +.......+ 1/n!
Une première question me demandait de montrer que la suite était croissante, ce que j'ai réussi sans problème. La seconde question me paraît beaucoup moins évidente.
2) On définit la suite (Vn) par Vn= Un + 1/n(n!). Démontrer que la suite (Vn) est décroissante. J'ai retenu la méthode de la différence, Vn+1-Vn= (1/(n+1)(n+1!))-(1/n(n!)). J'ai mis tout au même dénominateur mais le calcul ne me paraît pas très bon étant donné que je n'arrive pas à développer à cause du n factoriel.
Une troisième question me pose également problème sachant que j'ai admis la propriété précédente.
3) Montrer que pour tout entier p, et pour tout entier q, non nuls : Up 
Vq . Alors là, ce que je ne comprends pas, c'est que pour p donné, Un=Up et comme Vn est défini en fonction de Un, alors p devrait être égal à q.
Enfin bref, voilà, mes problèmes. J'espère que vous pourrez mes venir en aide. Merci d'avance.
Emilie
salut
Vn+1-Vn= (1/(n+1)(n+1!))-(1/n(n!))
on met (1/n!) en facteur :
V(n+1)-V(n)=(1/n!)*[1/(n+1)^2-1/n]
reste a voir 1/(n+1)^2-1/n=[n-(n+1)^2]/[n*(n+1)^2]=A
A=(-n^2-n-1)/[n*(n+1)^2]
A<0 pour n dans N donc V(n+1)-V(n)<0 pour tout n.
donc V decroissante.
3) soient p et q entiers naturels non nuls.
si p>=q d'apres question precedente V(q)>=V(p)=U(p)+1/p(p!)>=U(p).
si p<q V(q)=U(q)+1/[q*q!]=U(p)+1/(p+1)!+...+1/q!+1/[q*q!]>=U(p)
conclusion dans les 2 cas : V(q)>=V(p)
a verifier.
a+
je veux dire :
conclusion dans les 2 cas : V(q)>=U(p)
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