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Niveau maths sup
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Holder

Posté par Djeffrey (invité) 17-03-05 à 19:02

Bonjour, j'ai un petit probleme pour terminer de démontrer l'inégalité de Holder, je pose l'énoncé et je vous explique ce qui bloque :

\textrm Si n, p et q sont trois entiers naturels non nuls tels que \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 alors pour tout 2n-uplets de reels positifs (x_1,x_2,...x_n,y_1,y_2,...,y_n) on a :

\textrm \sum_{k=1}^n {__}x_k.y_k \le (\sum_{k=1}^n {__}x_k^p)^{\frac{1}{p}}.(\sum_{k=1}^n {__}y_k^q)^{\frac{1}{q}}   (1)

Voila donc d'abord j'ai montré que pour tout n-uplet (t1,t2,...tn) de reels positifs, alors :

\textrm (\sum_{k=1}^n {__}\beta_k.t_k)^p \le \sum_{k=1}^n {__}\beta_k.(t_k)^p {_________}lorsque les \beta_k sont des reels positifs de somme egale a 1.

Ensuite on me donne les beta tels que :
\textrm \beta_k=\frac{(y_k)^q}{\sum_{i=1}^n {__}(y_i)^q.

Voila normalement l'etape suivante est de deduire de tout cela l'inegalité de holder que j'ai précisée en (1), mais je n'arrive pas a le faire et je pense que c'est parce que je ne sais pas utiliser convenablement l'hypothese sur \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.
Pouvez vous m'aider s'il vous plait?

Posté par Djeffrey (invité)re : Holder 17-03-05 à 20:45

j'ai essayé de trouver des documents sur l'inegalité de Holder mais c'est pas exactement comme ca et ca n'utilise pas les beta comme je les ai donc je comprend mal comment faire... Sur le forum j'ai retrouvé un post sur le meme sujet mais qui etait beaucoup moins général car il ne prenait en compte qu'un produit

Posté par
franz
re : Holder 18-03-05 à 21:18

\(\bigsum_{k=1}^n%20{__}\beta_k.t_k\)^p%20 \le%20\bigsum_{k=1}^n%20{__}\beta_k.(t_k)^p%20
\(\bigsum_{k=1}^n%20{__}\frac{(y_k)^q} {\bigsum_{i=1}^n%20 (y_i)^q } .t_k\)^p%20\le%20\frac {\bigsum_{k=1}^n%20{__}y_k^q.(t_k)^p} {\bigsum_{i=1}^n%20 (y_i)^q }
\(\bigsum_{k=1}^n%20{__}(y_k)^q .t_k\)^p%20\le \( \bigsum_{k=1}^n%20{__}y_k^q.(t_k)^p \) \({\bigsum_{i=1}^n%20 (y_i)^q }\)^{(p-1)}

Or d'une part  p-1 = p.\( 1-\frac 1 p\) = p. \frac 1 q =\frac p q
d'autre part  p+q-pq = pq\(\frac 1 q + \frac 1 p -1\) = 0 (j'en ai besoin pour la suite)

En prenant enfin t_k = x_k (y_k)^{1-q} on obtient

\(\bigsum_{k=1}^n%20{__}(y_k)^q . x_k (y_k)^{1-q} \)^p%20\le \left( \bigsum_{k=1}^n%20{__}y_k^q.\left( x_k y_k^{1-q}\right)^p \right) \({\bigsum_{i=1}^n%20 (y_i)^q }\)^{(p-1)}
\(\bigsum_{k=1}^n%20{__} x_k .y_k \)^p%20\le \left( \bigsum_{k=1}^n%20{__}\(x_k\)^p \(y_k\)^{p+q-pq} \right) \({\bigsum_{i=1}^n%20 y_i^q }\)^{\frac p q}

en prenant la racine p°

\red \large \(\bigsum_{k=1}^n%20{__} x_k .y_k \)%20\le \left( \bigsum_{k=1}^n%20{__}x_k^p \right)^{\frac 1 p} \({\bigsum_{i=1}^n%20 y_i^q }\)^{\frac 1 q}



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