essaie pour f y1=x1/(x1^2+x2^2), y2=x2/(x1^2+x2^2) et y3? pour que ce soit bijectif
pour g y1=x1, y2=x2chx3, y3=x2shx3 (vérifie si c'est bon, ce sont juste des pistes...)

Je doute que X1 et X2 soient homéomorphes.
Ensuite,
X1 est trivialement non fermé:
que penser de xn=(x1n,x2n,x3n) définie par x1n=x2n=1/n x3n=0
X1 est trivialement non ouvert, sinon il existerait une boule dans X1 qui reste toujours dans X1, ce qui est impossible.

X2 est trivialement fermé car c'est l'image réciproque d'un fermé par une application continue. Si on aime pas cette méthode, on peut prendre une suite dans X2 qui converge, et montrer que la suite est dans X2 (facile).

X2 ne peut pas être ouvert, sinon X2 serait ouvert et fermé, et différent de vide ou E, ce qui est impossible.
Si on aime pas cette démo, on peut voir que si X2 est ouvert, alors toute boule centrée en un point de X2 "sortirait" de X2, sauf pour une boule de rayon nulle, ce que l'on ne veut justement pas.

Idem pour 3.

Merci beaucoup pour vos réponses piepalm et otto! :)

Je vais aller étudier cela et si j'ai des questions, je reviendrai...

Bonjour à vous!

Voilà, je reviens juste pour une petite question à otto:

Vous dites: "X2 est trivialement fermé car[...]on peut prendre une suite dans X2 qui converge, et montrer que la suite est dans X2 (facile)."
----->Je dois avoir un problème car vous dites que c'est facile, mais je ne vois pas comment je peux trouver une suite dans X2 En fait, c'est pas que je ne  trouve pas, c'est que je ne sdais pas comment la trouver

Voilà,si vous pouviez me renseigner sur ce point...
Merci beaucoup et bonne soirée!

Oui en fait j'ai fait une erreur dans ce que j'ai dit, c'est la limite qui est doit être dans X2.
Mais sinon on peut le voir fermé comme image réciproque d'un fermé par application continue.

C'est trivial:
si on prend une suite (xn) de X2 qui converge vers x.
Alors xn=(x1n,x2n,x3n) et x=(x1,x2,x3)
On a que x1n^1+x2n^2=1
xn converge vers x si et seulement si x1n converge vers x1, x2n vers x2, et x3n vers x3.

Notamment si on pose U(n)=x1n^2+x2n^2 on a alors que U(n) converge vers x1^2+x2^2.
Sauf que U(n)=1 pour tout n, donc U(n) converge vers 1.
Donc x1^2+x2^2=1 et donc x est dans X2.

A+

Merci beaucoup otto!

C'est vrai que c'est trivial, je devais saturer quand j'ai cherché....

Et justement vous dites "on peut le voir fermé comme image réciproque d'un fermé par application continue",j'y avais aussi pensé, mais dans un exo du TD, on devait montrer que V={(x1,x2)²/x1*x2 <1} était un ouvert de (²,d)

J'ai donc considéré l'application continue v:²----> définie par v(x1,x2)=x1*x2.

Et j'ai dit que V était ouvert car V était l'image réciproque par v de l'ouvert de : ]-00,1[.

Mais mon raisonnement est-il bon?( promis, c'est la dernière question à ce sujet )
Paske le prof a fait une correction beaucoup plus compliquée et je me demande si ma solution était bonne aussi...

Je note |x| pour d(0,x)

Comme homéomorphisme entre X1 et X2, on peut penser à:

f(x)=(x1/|x|,x2/|x|,ln(|x|))

dont l'inverse est y->(exp(y3).y1,exp(y3).y2,0)

Entre X2 et X3:

g(x)=(x1.(1+x3²),x2.(1+x3²),x3)

dont l'inverse est bien sur y->(y1/(1+y3²),y2/(1+y3²),y3)

Plus que des homéomorphismes, ce sont des difféomorphismes C entre trois variétés: la plan privé d'un point et les sphères unités de deux formes quadratiques (l'une de signature (2,0) et l'autre (2,1)).

Merci beaucoup Babou14!

P.S: Je n'ai pas encore vu ce qu'était un difféomorphisme

---> otto: si vous passez par là, j'avais juste demandé une dernière 'tite question sur le poste "le 21/10/2005 à 19:26"Merci!

Bonne soirée
lolo

Un difféomorphisme est un homéomorphisme différentiable.
Une variété de dimension n est un ensemble qui est localement homéomorphe à R^n.

Pour ce qui est du fait de savoir si c'était bon, (le fait de dire que c'est l'image réciproque d'un ouvert par une application continue) la réponse est oui.

A+

Merci beaocopu otto!

Quelle rapidité

Bonne soirée!