Pour le 2), pourquoi pas une rotation d'angle par exemple ?

Pour le 3) es-tu-sûr d'avoir bien recopié l'énoncé ? Un singleton est de cardinal 1, alors que S est indénombrable...

Merci pour cette réponse.

Pour 2) comment faire cette rotation ? La construire explicitement ? Merci !

Pour 3) oui il n'y a pas d'erreur. Je peux donc dire qu'un homéomorphisme est nécessairement bijectif et : il existe une bijection entre deux ensemble SSI ils ont le même cardinal ?

Merci !

2) pense aux complexes. Faire une rotation d'angle pi/4 revient à multiplier par exp(i.pi/4) = cos(pi/4) + i.sin(pi/4) = (1+i)/sqrt(2). Tu peux donc donner une expression claire de ta fonction et de son inverse. Sinon, tu écris la matrice de l'endomorphisme de R^2 de rotation d'angle theta = pi/4 dans la base canonique (la rotation en quesiton est linéaire et bornée donc continue et donc sa restriction au cercle unité (qu'elle stabilise) est continue. Son inverse est la rotation -pi/4, continue pour les mêmes raisons). Accessoirement, ça marche aussi avec la rotation pi/2, qui est plus simple encore.

3) la même cardinalité, mais oui c'est l'idée. Je pense qu'ils te demandaient plutôt de dire si S et [0,1] (ou R) sont homéomorphes, pour que tu puisses utiliser la jolie contradiction au sujet des points fixes de 1) et 2)