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Homeomorphisme

Posté par
matheux14 30-03-23 à 20:42

Bonsoir,

La fonction h : [-1 ; 1] \longrightarrow [-1 ; 1] vérifie les égalités suivantes :

\begin{cases} h(2x + 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)), h(-1) \le h(x) < h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\\\ h(-2x) =  -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)), h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \le h(x) \le h\left(\dfrac{1}{2}\right) \\\\ h(2x - 2) =  -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)),  h\left(\dfrac{1}{2}\right) < h(x) \le h(1) \end{cases}

Déterminez h sachant qu'elle définie un homéomorphisme de [-1, 1] dans [-1 ; 1].

Réponses

h étant un homéomorphisme de [-1, 1] dans [-1, 1], on peut vérifier que :

*h est continue

* h est bijective et sa bijection réciproque h^{-1} est aussi continue.

h est bijective signifie que h strictement monotone et surjective.

h est-elle strictement monotone ?

Supposons que x_1 < x_2.

Est-ce que h(x_1) < h(x_2) ? Il y a trois cas à considérer :

Si h(-1) \le h(x_1) < h\left(-\dfrac{1}{2}\right) et h(-1) \le h(x_2) < h\left(-\dfrac{1}{2}\right), alors on peut appliquer la première équation pour obtenir :

h(2x_1 + 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_1) (1 - h^2(x_1))

et

h(2x_2 + 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_2) (1 - h^2(x_2)).

Puisque 2x_1 + 2 < 2x_2 + 2, on a bien h(2x_1 + 2) < h(2x_2 + 2). En utilisant les équations ci-dessus, cela donne :

-\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_1) (1 - h^2(x_1)) < -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_2) (1 - h^2(x_2)).

Puisque 1 - h^2(x) \ge 0 pour tout x, on peut alors diviser les deux côtés par -\dfrac{3 \sqrt 3}{2} et inverser le signe d'inégalité pour obtenir :

h(x_1) > h(x_2).

Si h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \le h(x_1) \le h\left(\dfrac{1}{2}\right) et h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \le h(x_2) \le h\left(\dfrac{1}{2}\right), alors on peut appliquer la deuxième équation pour obtenir :

h(-2x_1) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_1) (1 - h^2(x_1))

et

h(-2x-2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_2) (1 - h^2(x_2)).

Puisque -2x_1 > -2x_2, nous avons h(-2x_1) < h(-2x_2). En utilisant les équations ci-dessus, cela donne :

-\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_1) (1 - h^2(x_1)) < -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_2) (1 - h^2(x_2)).

Comme précédemment, en divisant les deux côtés par -\dfrac{3 \sqrt 3}{2} et en inversant le signe d'inégalité, nous obtenons :

h(x_1) > h(x_2).

Si h\left(\dfrac{1}{2}\right) < h(x_1) \le h(1) et h\left(\dfrac{1}{2}\right) < h(x_2) \le h(1), alors nous pouvons appliquer la troisième équation pour obtenir :

h(2x_1 - 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_1) (1 - h^2(x_1))

et

h(2x_2 - 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_2) (1 - h^2(x_2)).

Puisque 2x_1 - 2 < 2x_2 - 2, on a h(2x_1 - 2) < h(2x_2 - 2).

Donc -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_1) (1 - h^2(x_1)) < -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x_2) (1 - h^2(x_2)).

On divise aussi les deux côtés par -\dfrac{3 \sqrt 3}{2} et en inversant le signe d'inégalité, il vient :

h(x_1) > h(x_2).

Ainsi, dans tous les cas, on a h(x_1) > h(x_2), ce qui montre que h est strictement monotone.

h est surjective ?

Soit y \in [-1,1]. On va montrer qu'il existe x \in [-1,1] tel que h(x) = y.

Si y = -1 ou y = 1, on a h(-1) = -1 et h(1) = 1, respectivement.

On a montré que h est strictement monotone et surjective, donc h est une bijection de [-1,1] dans [-1,1].

En outre, h est continue car elle est définie par des formules continues.

Comme [-1,1] est un intervalle compact et h est une fonction continue et bijective de [-1,1] dans [-1,1], il s'ensuit que h est un homéomorphisme de [-1,1] dans [-1,1].

Cependant, comment peut on déterminer explicitement h à partir de ces informations données ?

Posté par
matheux14re : Homeomorphisme 01-04-23 à 16:29

Posté par
verdurinre : Homeomorphisme 01-04-23 à 17:07

Bonsoir,
tu n'as pas besoin de montrer que c'est un homéomorphisme, c'est affirmé dans l'énoncé.

Citation :
Déterminez h sachant qu'elle définie un homéomorphisme de [-1, 1] dans [-1 ; 1].


On a alors deux cas possibles :
    1) h est strictement décroissante, dans ce cas aucune des conditions proposées n'est vraie et c'est fini ;
    2) h est strictement croissante et on a -1=h(-1)<h(-1/2)<h(1/2)<h(1)=1.

Dans le cas 1) on peut accepter ou refuser en bloc tous les homéomorphisme suivant l'interprétation.

Dans le cas 2) il faut déterminer les fonctions qui conviennent sachant qu'elles sont continues et strictement croissantes.
Par exemple  x<-1/2 entraîne h(x)<h(-1/2).

Posté par
matheux14re : Homeomorphisme 01-04-23 à 20:24

* Dans le cas 1), on peut directement conclure qu'il n'y a pas de fonction qui vérifie les conditions imposées dans l'énoncé et qui est un homéomorphisme de [-1,1] dans [-1,1].

Puisque, si h est strictement décroissante, alors on a h(-1) > h(-1/2) > h(1/2) > h(1), qui contredit la propriété de l'homéomorphisme selon laquelle l'image d'un intervalle borné doit être un intervalle borné.

Par conséquent, il n'y a pas de fonction vérifiant les conditions dans ce cas.

* Pour déterminer h dans le cas où elle est strictement croissante, nous avons les équations suivantes à résoudre :

\begin{cases} h(2x + 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)), h(-1) \le h(x) < h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ h(-2x) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)), h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \le h(x) \le h\left(\dfrac{1}{2}\right) \\ h(2x - 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)), h\left(\dfrac{1}{2}\right) < h(x) \le h(1) \end{cases}

En appliquant la deuxième équation avec x=-\dfrac{1}{2}, on a :

h(1) = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}h\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(1 - h^2\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)

En appliquant la première équation avec x=-\dfrac{3}{2} et en utilisant la relation précédente, on obtient :

h(1) = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}h\left(-\dfrac{3}{2}\right)\left(1 - h^2\left(-\dfrac{3}{2}\right)\right)

En résolvant pour h\left(-\dfrac{3}{2}\right), on a :

h\left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{2h(1)}{3\sqrt{3}\left(1 - h^2\left(-\dfrac{3}{2}\right)\right)}

En appliquant la troisième équation avec x=\dfrac{1}{2}, on a :

En utilisant la première équation avec x=-\dfrac{3}{2} et en utilisant la relation précédente, on obtient :
h(-1) = -\dfrac{3\sqrt{3}}{2}h\left(-\dfrac{3}{2}\right)\left(1 - h^2\left(-\dfrac{3}{2}\right)\right)

Maintenant, nous avons toutes les informations nécessaires pour déterminer h dans le cas où elle est strictement croissante. Nous pouvons utiliser ces équations pour calculer h(x) pour toutes les valeurs de x appartenant à chaque intervalle donné dans l'énoncé, en partant de h(-1) et en utilisant les équations dans l'ordre :

\begin{cases} h(-1) \\\\ h\left(-\dfrac{3}{2}\right)\\\\ h(1) \end{cases}

Une fois ces valeurs de h(x) déterminées (bien sur, ce n'est pas suffisant pour être assez précis.. on peut faire mieux) dans l'intervalle [-1,1], j'essaye de construire la fonction h en utilisant une interpolation linéaire pour les intervalles où h est définie. La fonction h sera continue et strictement croissante, car elle est construite à partir de morceaux de fonctions continues et strictement croissantes.

Je bloque un peu là.

Posté par
verdurinre : Homeomorphisme 01-04-23 à 20:55

Ça c'est faux.

Citation :
Dans le cas 1), on peut directement conclure qu'il n'y a pas de fonction qui vérifie les conditions imposées dans l'énoncé et qui est un homéomorphisme de [-1,1] dans [-1,1].

Puisque, si h est strictement décroissante, alors on a h(-1) > h(-1/2) > h(1/2) > h(1), qui contredit la propriété de l'homéomorphisme selon laquelle l'image d'un intervalle borné doit être un intervalle borné.
Par exemple la fonction x-x est bien un homéomorphisme de [-1;1] dans lui-même.

Pour la suite on peut remarquer que -\frac32<-1 et donc que h\bigl(-\frac32\bigr) n'existe pas.

Posté par
verdurinre : Homeomorphisme 01-04-23 à 21:51

Pour revenir sur l'interprétation on peut voir
\begin{cases} h(2x + 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)), h(-1) \le h(x) < h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ h(-2x) =  -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)), h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \le h(x) \le h\left(\dfrac{1}{2}\right) \\ h(2x - 2) =  -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)),  h\left(\dfrac{1}{2}\right) < h(x) \le h(1) \end{cases}
de deux façons :
\begin{cases} h(2x + 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)){\color{red}\text{ si }} h(-1) \le h(x) < h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ h(-2x) =  -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)){\color{red}\text{ si }} h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \le h(x) \le h\left(\dfrac{1}{2}\right) \\ h(2x - 2) =  -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)) {\color{red}\text{ si }} h\left(\dfrac{1}{2}\right) < h(x) \le h(1) \end{cases}
dans ce cas n'importe quel homéomorphisme décroissant convient.
Car faux implique n'importe quoi est toujours vrai.
On peut aussi le voir comme
\begin{cases} h(2x + 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)){\color{red}\text{ et }} h(-1) \le h(x) < h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\ h(-2x) =  -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)){\color{red}\text{ et }} h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \le h(x) \le h\left(\dfrac{1}{2}\right) \\ h(2x - 2) =  -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)) {\color{red}\text{ et }} h\left(\dfrac{1}{2}\right) < h(x) \le h(1) \end{cases}
Dans ce cas l'homéomorphisme h est croissant et il faut le déterminer en se souvenant qu'il n'est pas défini en dehors de l'intervalle [-1;1].

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Homeomorphisme 02-04-23 à 20:24

Bonsoir matheux

En effet comme a expliqué verdurin (que je salue !), s'il existe, l'homéomorphisme h que tu cherches à déterminer est nécessairement croissant

et du coup on a h(-1)=-1 et h(1)=1 et les conditions qu'il remplie s'écrivent d'une manière équivalente :

\Large\boxed{\begin{cases} h(2x + 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x))~,~-1\le x< \dfrac{1}{2}\\\\ h(-2x) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x))~,~-\dfrac{1}{2}\le x \le \dfrac{1}{2} \\\\ h(2x - 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x))~,~\dfrac{1}{2} < x \le 1 \end{cases}}

on a aussi h(0)=0 , h(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{\sqrt3} et h(\frac{1}{2})=\frac{1}{\sqrt3} ... ( à suivre )

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Homeomorphisme 02-04-23 à 20:25

une petite coquille ! \Large\boxed{\begin{cases} h(2x + 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x))~,~-1\le x< \red{-}\dfrac{1}{2}\\\\ h(-2x) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x))~,~-\dfrac{1}{2}\le x \le \dfrac{1}{2} \\\\ h(2x - 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x))~,~\dfrac{1}{2} < x \le 1 \end{cases}}

Posté par
matheux14re : Homeomorphisme 02-04-23 à 20:38

Bonsoir elhor_abdelali

Posté par
verdurinre : Homeomorphisme 02-04-23 à 22:23

Bonsoir matheux14

Posté par
matheux14re : Homeomorphisme 02-04-23 à 23:53

Bonsoir verdurin, je crois vous avez mis mon pseudo à la place de celui de elhor_abdelali dans votre message du 02-04-23 à 22:23..

Bonne nuit à vous

Posté par
verdurinre : Homeomorphisme 03-04-23 à 00:34

Bonne nuit matheux14.
C'est bien toi que j'ai applaudi.
Et je crois que nos échanges sur le sujet s'arrêtent ici.

Posté par
matheux14re : Homeomorphisme 03-04-23 à 01:30

Aucun mérite..

Merci beaucoup à vous verdurin

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Homeomorphisme 04-04-23 à 15:16

Bonjour matheux 14

Peux tu renseigner sur l'origine de cet exercice ?

Posté par
matheux14re : Homeomorphisme 04-04-23 à 20:37

Il s'agit des travaux de recherche de mon prof de topologie qu'il a dû reformuler ainsi pour nous

A l'origine, il fallait démontrer que la fonction T(x)= \{2x+2 \text{ si } -1 < x <-1/2 ;  -2x \text{ si } |x|<1/2 ; 2x-2 \text{ si } 1/2<x<1\} est chaotique dans le sens Devaney. Pour ce faire, selon un théorème on a juste besoin d'une fonction qui est chaotique (dans notre cas cette fonction est  Q(x)= - \dfrac{3 \sqrt 3 x(1-x^2)}{2},  x \in [-1, 1]) et démontrer que les deux fonctions (Q et T) sont topologiquement  conjuguées. Pour montrer cela, on doit prouver qu'il existe un homéomorphisme h définie  sur [-1,1] qui vérifie h(T(x))= G(h(x)).

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Homeomorphisme 05-04-23 à 00:13

Très intéressant cette notion de fonction chaotique !

Quelles références consulter ?

J'ai pu montrer qu'un tel homéomorphisme (s'il existe) est nécessairement impair

ce qui simplifie (relativement) les conditions qu'il doit remplir...

Posté par
matheux14re : Homeomorphisme 05-04-23 à 11:40

Bonjour boss, comment allez ? Oui effectivement la fonction est impaire et existe. Par contre ce n'est pas une fonction usuelle (polynôme, trigo, expo....).

D'ailleurs, il a dû conclure qu'on peut seulement prouver l'existence de la fonction et par des simulations tracer sa courbe, mais elle ne saurait être exprimée explicitement.

La fonction en question continue ce qu'on appelle un système dynamique. Le domaine ce sont les systèmes dynamiques et le chaos.

Pour référence, il y a  Robert Devaney et Gulick qui sont les deux livres de référence du domaine.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Homeomorphisme 06-04-23 à 01:53

Grand merci matheux 14 pour les références.

J'ai pu en effet constater que cet homéomorphisme ne peut s'exprimer à l'aide de fonctions usuelles

mais que ses valeurs aux points rationnels de la forme \frac{k}{2^n}~,~-2^n\leqslant k\leqslant2^n se calculent d'une manière récursive

d'où la possibilité de tracer sa courbe par densité de ces points dans l'intervalle [-1,1]

Posté par
matheux14re : Homeomorphisme 09-04-23 à 15:15

Citation :
J'ai pu montrer qu'un tel homéomorphisme (s'il existe) est nécessairement impair


Bonjour elhor_abdelali, pourriez vous détailler votre raisonnement s'il vous plaît

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Homeomorphisme 09-04-23 à 23:31

Bonsoir matheux 14

J'ai montré par récurrence sur n que :

\Large\boxed{\forall n~,~\forall (-2^n\leqslant k\leqslant2^n)~,~h\left(-\frac{k}{2^n}\right)=-h\left(\frac{k}{2^n}\right)} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
matheux14re : Homeomorphisme 10-04-23 à 22:32

-\dfrac{3 \sqrt 3}{2}\tanh(x) (1 - \tanh^2(x)) semble faire l'affaire mais bon..

Posté par
matheux14re : Homeomorphisme 10-04-23 à 22:55

Pour la récurrence je ne vois pas vraiment..

Initialisation (n = 0) :

Pour n = 0, nous devons montrer que h\left(-\frac{k}{2^0}\right) = -h\left(\frac{k}{2^0}\right), pour tout -2^0 \leq k \leq 2^0, c'est-à-dire -1 \leq k \leq 1.

En utilisant les égalités données dans l'énoncé, nous avons :

\begin{cases} h(2x + 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)), h(-1) \le h(x) < h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\\ h(-2x) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)), h\left(-\dfrac{1}{2}\right) \le h(x) \le h\left(\dfrac{1}{2}\right) \\\ h(2x - 2) = -\dfrac{3 \sqrt 3}{2}h(x) (1 - h^2(x)), h\left(\dfrac{1}{2}\right) < h(x) \le h(1) \end{cases}


J'ai essayé de remplacer x par -\dfrac{k}{2^0} dans ces égalités, puis par -\dfrac{k}{2^0} mais ce n'est pas intéressant.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Homeomorphisme 10-04-23 à 23:59

k est un entier

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Homeomorphisme 11-04-23 à 02:43

et les entiers compris entre -2^0 et 2^0 il n' y en a pas beaucoup


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