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Niveau maths spé
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Homéomorphisme contre-exemple

Posté par
Serbiwni
22-04-21 à 12:38

Bonjour, je manque de créativité face à une question sur les homéomorphismes (dont je rappelle la définition qu'on m'a donnée) :

Soient E, F ⊂ Rn ouverts non vides. Une application f : E → F est un homéomorphisme si elle est bijective et si f et son inverse g sont continues.

Ma question est la suivante : existe-t-il une fonction qui soit continue et bijective, mais qui ne soit pas un homéomorphisme? Le fait qu'on ait posé la définition d'homéomorphisme me fait penser que oui, mais je n'arrive pas à trouver un exemple.

Posté par
GBZM
re : Homéomorphisme contre-exemple 22-04-21 à 13:33

Bonjour,

Dans le contexte que tu donnes, tu auras du mal à trouver un contre-exemple : le théorème de l'invariance du domaine dit qu'un application continue injective d'un ouvert U de \R^n dans \R^n est ouverte, et est un homéomorphisme sur son image.

Par contre, des bijections continues dont la réciproque n'est pas continue, ce n'est pas trop dur à trouver. Je te laisse réfléchir dans ce contexte plus général ?

Posté par
Serbiwni
re : Homéomorphisme contre-exemple 22-04-21 à 13:50

C'est justement cette histoire d'ouverts qui m'embetait, sinon je connaissais une réponse à votre question en prenant f : [0,2pi [ dans R2 qui envoie x vers (cos(x),sin(x)) qui n'est pas continue en (0,1)

Posté par
Serbiwni
re : Homéomorphisme contre-exemple 22-04-21 à 13:58

dans S1 plutôt

Posté par
GBZM
re : Homéomorphisme contre-exemple 22-04-21 à 18:05

Soyons clairs : le f que tu décris est bien continu, c'est sa réciproque du cercle dans l'intervalle semi-ouvert qui n'est pas continue au point (1,0) du cercle.

Qui t'a donné la définition que tu cites et qui se restreint aux ouverts de \R^n ? Elle reprend la définition générale d'homéomorphisme, mais dans ce cas-là la continuité de la réciproque est automatique par le théorème d'invariance du domaine.



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