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Homeomorphisme et topologie metrique
Bonjour bonjour
Alors voilà question très simple :
Je viens de commencer la topologie et ce milieu ne m'est pas très fluide et évident donc j'ai un peu de mal avec les principes plus ou moins basique.
Le problème auquel je fais face est le suivant :
Soit sur Rn
d1(x,y) = || x - y ||
d2(x,y) = 
1
in |xi - yi|
d3(x,y) = sup (|xi - yi|) (pour i allant de 1 à n)
Je dois montrer que les espaces induits par les métriques sont homéomorphe....
J'ai pensé à un raisonnement comme pour montrer un isomorphisme mais même la ça me semble pas faisable...
Merci pour vos indices et suggestions !
Bonsoir,
Que faut-il comprendre pour la distance d1 ?
Et sinon, les métriques induisent des espaces topologiques homéomorphes ssi elles sont topologiquement équivalentes, ce qui revient à dire (par exemple) que les distances induisent les mêmes suites convergentes. Tu peux montrer par exemple que pour une suite et
, on a
Comme on est sur il me semble que des inégalités comparant ces distances (en admettant que
est bien définie quelque part) devrait suffire.
Les distances considérées proviennent de normes.
d3 de N 
: x 
Max{ |xj| │ 1 j n }
d2 de N1 : x 
|xj|
d1 de N2 : x ( |xj|²)1/2 .
On a les inégalités suivantes :
1.N2 n1/2.N (facile à voir)
2.N N1 (facile à voir)
3.N1 n1/2N2.
Pour prouver cette dernière : Si x , y sont dans 
n soit <x , y> leur produit scalaire càd xjyk .
On montre qu'on a ; <x , y>² <x , x>.<y , y> , pour tout (x , y) ( Inégalité CS dite de Cauchy-Schwartz ) .
Si x 
n on a donc en prenant pour y le vecteur ( Sgn(x1) ,....., Sgn(xn))
(N1(x))² n.(N2(x))² .
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