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homéomorphismes
Bonsoir ,
Soit C1 le cercle de centre A(-1;0) et de rayon 1
Soit C2 le cercle de centre 0 et de rayon 2
Soit Q=[0;1] x [-0.5;0.5]
Soit X1 =C1 U C2
Soit X2 = C1 U Frontière de Q
Soit X3 = Fr(Q) U ([0;1] x {0})
Soit X4 = C2 U Fr(Q)
On cherche les Xi homéomorphes et non homéomorphes entre eux
Comment doit-on s'y prendre ?
J'ai du mal à visualiser des éventuelles déformations continues avec des réunions d'espaces
Merci de me donner un indice pour démarrer
Bonjour GBZM ,
Oui j'ai fait un dessin . Je me retrouve avec un petit cercle et un carré à l'intérieur d'un grand cercle
Le petit cercle est tangent au grand
Le carré est tangent au petit cercle
Le segment est à l'intérieur du carré
J'ai fait partir des 1/2 droites du point de tangence des 2 cercles . Elles coupent les 2 cercles en des points d'où présence d'une homothétie à rapport variable
J'aurais tendance à dire que les 2 cercles sont homéomorphes mais malheureusement on nous donne des ensembles Xi qui sont des unions d'espaces topologiques
Là je ne sais plus comment m'y prendre
Un petit dessin vaut mieux qu'un long discours. J'ai noté f le bord du carré, s le segment.
Tu as à comparer ,
,
,
.
Moi, je fais ça au feeling. Pas toi ?
Après, expliciter un homéo est casse-pieds, pas sûr qu'on te le demande.
Et après, te pose-t-on la même question en remplaçant "homéomorphes" par "homotopiquement équivalents" ?
Merci GBZM pour ce joli dessin , plus joli que le mien sur la copie à petits carreaux!
On doit dire qui est homéomorphe à quoi en dessinant des points et leurs images
On doit dire qui n'est pas homéomorphe à quoi en justifiant
La question d'après est de dire qui est une variété topologique ou ne l'est pas en justifiant
C'est bien ce que je pensais, on te demande des dessins pour les homéomorphismes, et des justifications juste pour les non homéomorphismes.
bonjour,
Sauf confusion, il me semble qu'en utilisant des restrictions et des composées d'homéomorphismes conservant les contacts et préservant la bijectivité, on peut expliciter partiellement certains homéomorphismes à définir.
Exemple
où
avec translation, g l'homéomorphisme qui transforme un carré de coté 1 et de centre O en le cercle de centre O et de rayon
et h l'homothétie de centre O et de rapport 2.
g peut être défini par un ensemble de 4 projections bijectives à définir pour chaque côté du carré vers le petit arc de cercle sous tendu par le côté et qui sont ici bijectives et bicontinues.
Exemple: Pour le carré ABCD avec
Arc de cercle AD :
Désolé, DOMOREA, je me vois encore une fois dans l'obligation de te corriger. Ce n'est pas de l'acharnement, mais je ne peux pas ne pas rectifier les erreurs.
et
sont bien homéomorphes. Mais la restriction de cet homéomorphisme au cercle
ne peut pas être l'identité ! En effet,
n'est pas une variété topologique au voisinage du point
commun à
et
, tandis que
est bien une variété topologique au voisinage de ce point.
Par ailleurs l'énoncé ne demande nullement d'expliciter un homéomorphisme par des formules. Il demande de "dire qui est homéomorphe à quoi en dessinant des points et leurs images". Louetcharles, peux-tu imaginer un homéomorphisme entre et
et dessiner les images dans
des points que j'ai marqués sur
. Vu mon explication ci-dessus, j'espère que tu comprends qu'il n'y a pas le choix pour l'image du point
.
je suis d'accord, il a un problème de continuité à cause de l'identité, il y a bien une rupture de continuité au voisinage de T sur C1 dans la transformation que j'ai définie car j'ai défini k(T)=G donc le procédé n'est pas bon
Ayant un niveau très basique par rapport à vous 2 , je cherche des exercices qui montrent des exemples de tracés de points dans un espace et leurs images dans un autre espace car je trouve ces notions indigestes quand on les découvre pour la 1ère fois et surtout en reprise d'études.
Je ne trouve rien sur Internet. Avez vous des titres de manuels ou autres s'il vous plaît?
Est-ce que la proposition suivante sera la bonne ?
On part de
Par un homomorphisme , on peut transformer
en un cercle
de rayon 2 et tangent extérieurement à
en
La symétrie centrale de centre transforme le cercle
en un cercle que l'on appelle
Puis les droites passant par (qui occupe désormais la position de
) , coupent respectivement
en
.
étant l'image d'un point de
par le premier homomorphisme
.
L'homomorphisme cherché transforme
en
et
en
; il travaille bien de
vers
En fait à l'homomorphisme h près qui transforme en
,
échange les points de
selon la droite
C'est plutôt ici question de bon sens et d'un minimum de vision.
Tu as une figure avec deux cercles qui ont un point de contact.
Tu as une autre figure avec un cercle et le bord d'un carré qui ont un point de contact.
Vois-tu que le bord d'un carré est homéomorphe à un cercle ?
As-tu réfléchi à l'image possible du point G ?
Quel est le sens de ta question ? Je sais quoi répondre
Et si tu donnais ta proposition? au lieu de me renvoyer des questions.
DOMOREA, ce n'est pas à toi de faire l'exercice, à la fin !
Je n'ai pas lu ce que tu as écrit. Je m'adressais à Louetcharles
Bonsoir ,
Oui je le vois pour ce cas là , merci GBZM .
Mais mon souci est le jour d' un contrôle où il y a plein de figures et surtout qu' il n' y a pas GBZM !
C' est pour ça que je demandais si il y avait une méthode à appliquer à chaque fois pour pouvoir démarrer
On doit tout de suite avoir l'attention attirée par les points où l'objet présente une singularité (ici, les points qui n'ont pas un voisinage homéomorphe à une intervalle ouvert).
Dans et dans
, il y en a un. Il y en a deux dans
, zéro dans
.
C' est hyper , méga gentil de ta part GBZM !
Mais j' ai le sentiment d' être l' origine , involontaire certes d' une polémique entre DOMOREA et toi .......
Y aurait- il éventuellement un autre moyen de communiquer entre nous ?
Bonsoir ,
Je reprends ce post pour ( essayer) de répondre à GBZM
Le point de contact G des 2 cercles trouve son image au point de contact du cercle et du carré dans X2
J'aurais tendance à dire que I et H sont leur propre image sur C1 dans X2
J et K ont pour image chacun un coin du carré dans X2
Ou alors j'ai rien compris?
Le point de contact G des 2 cercles trouve son image au point de contact du cercle et du carré dans X2
Il n'y a pas d'autre choix possible
J'aurais tendance à dire que I et H sont leur propre image sur C1 dans X2
J et K ont pour image chacun un coin du carré dans X2
Pourquoi pas ? Ce n'est pas forcément ce que j'aurais choisi, mais il faut bien réaliser quel arc de cercle va sur quel arc de cercle ou partie de bord du carré.
Tu vois par exemple l'arc de cercle GH s'envoyer sur l'arc de cercle h(G)h(H) ?
Oui merci GBZM
Je dirais que X1 et X4 sont homéomorphes
X3 n'est homéomorphe avec rien à cause du segment
Est ce correct?
Non, ce n'est pas correct. Je répète ce que je t'ai déjà écrit : fais attention aux singularités !!!
Re!
On aurait X1 homéomorphe seulement à X2 à cause du nombre de points de singularité de chaque espace ? Est ce suffisant comme justification de non homéomorphisme possible?
bonjour,
cela me semble insuffisant; imagine que X2 comporte en plus un cercle à l'intérieur de FR(Q).
Bonjour Domorea ,
Oui mais X2 ne comporte pas de cercle EN PLUS de la frontière de Q puisque X2 est la REUNION de C1 et la frontière de Q
Donc on est OK, non ?
Oui, la différence du nombre de points singuliers suffit pour établir la non-homéomorphie.
Par contre, le fait d'avoir le même nombre de points singuliers ne suffit évidemment pas à établir l'homéomorphie. C'est peut-être ce que voulait dire DOMOREA, mais ici on parle de NON-homéomorphie.
Merci GBZM pour cette précision .
Mais du coup , on pourrait enlever certains points de singularité de ces espaces pour obtenir plus d'homéomorphismes?
Je ne comprends pas ce que tu veux dire. Si tu enlèves des points à tes espaces, ce ne sont plus les mêmes espaces !
Excuse moi GBZM , je voulais dire quotienter X2 par une relation d' équivalence R et quotienter X3 par une relation d' équivalence R' pour qu' ils soient homéomorphes.
Comment trouvect on ce type de relation d' équivalence?
et
sont homéomorphes. Tu peux les réaliser comme quotients topologiques de
(en écrasant par exemple le segment
sur un point qui sera l'unique point singulier) ou de
(en identifiant un point de
avec un point de
pour obtenir un point singulier).
Oui merci GBZM mais cet écrasement et cette identification sont des fonctions ou des transformations qui ont un nom en maths .
C' est ça qui me gêne dans ces notions . On imagine un écrasement ou on imagine des lettres de l' alphabet se transformer en segments ou en cercles mais pour l'écrire mathématiquement , c'est chaud ( comme disent les jeunes ) 
Oui merci GBZM mais cet écrasement et cette identification sont des fonctions ou des transformations qui ont un nom en maths .
Oui, c'est des quotients topologiques.
Dans des situations simples comme ici en dimension 1, on peut donner des descriptions en termes de complexes cellulaires : un 0-squelette constitué d'un nombre fini de points (0-cellules) auquel on attache des 1-cellules (segment, l'attachement se faisant en identifiant les extrémités à des points du 0-squelette). On a ainsi un codage combinatoire fini de la topologie.
Ah oui ! Ça c'est est dans ma partie de cours sur les CW- complexes .
De plus , GBZM, j'ai ai trouvé que X2 et X4 sont des variétés topologiques et que X1 et X3 n' en étaient pas . Est ce correct ?
Tu as vu que et
sont homéomorphes. Comment veux-tu que l'un soit une variété topologique et pas l'autre ?
Je te laisse réfléchir et corriger.
J'ai dit ça car tu as écrit cette remarque à Domorea le 16/03/21 à 11h27 :
" En effet, X_1 n'est pas une variété topologique au voisinage du point G commun à C_1 et C_2, tandis que X_2 est bien une variété topologique au voisinage de ce point.
Bien sûr, est une variété topologique au voisinage du point
et ceci montre qu'un homéomorphisme de
sur
ne peut pas envoyer
sur lui-même.
Mais où vois-tu que ce que j'ai écrit veut dire que est une variété topologique ? Être une variété topologique, c'est l'être au voisinage de tous ses points !
Merci GBZM
J'abuse encore de toi!
J'ai un carré dont les 4 coins ont été coupée en arrondis donc on a 4 1/2 cercles en guise de coins mais " rentrés" vers l'intérieur
J'ai dit que cette surface était à bord , compacte et connexe
J'ai dit qu'il y avait une composante connexe
Est ce correct?
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