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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Homeorphisme (-1,1) B(0,1) (R²) puis R R²

Posté par
divampromisy
16-06-18 à 16:47

Bonjour, actuellement en révision de mon examen de topologie je suis tombé sur un ancien sujet dont une question d'un QCM était la suivante:
Est-ce vrai ou faux que l'intervalle (-1,1) de R et la boule ouverte B(0,1) de R² sont homéomorphes? Justifier si cela est faux

Ma première idée a été que cela était faux (pour cause de dimension) puis j'ai pensé à l'astuce qui serait de prendre dans l'écriture décimale de mon réel chaque decimale impaire pour la decimale de la partie réelle (du complexe de r2) puis chaque decimale paire pour la partie complexe (du comple de r2). Cela transformerait ainsi mon segment en le rectangle ouvert du plan complexe ((1,0),(1,1),(-1,1),(-1,0)) (il me manquerait le choix du signe pour la partie complexe). Mais ayant ainsi trouvé une bijection entre mon segment et un ouvert connexe de R2 je pourrais ensuite conclure que les deux sont homéorphes (car ce rectangle ouvert et la boule ouverte sont homéomorphes).

Est ce que ce raisonnement est juste?

Si c'est le cas, je me demandais pourquoi ne pas adapater ce raisonnement à R et R²? Est ce car je me sers de la partie décimale (mais je ne vois pas trop ou cela bloque)?

Merci de vos réponses!

Posté par
carpediem
re : Homeorphisme (-1,1) B(0,1) (R²) puis R R² 16-06-18 à 17:28

salut

Citation :
l'intervalle (-1,1) de R
alors révise les notation d'un intervalle que ce que tu écris est un couple ...

et il est malheureux de ne pas savoir où se trouvent les symboles [ et ] sur un clavier ...

Posté par
divampromisy
re : Homeorphisme (-1,1) B(0,1) (R²) puis R R² 16-06-18 à 17:43

carpediem, je trouve que votre réponse est assez condescendente.
Je sais évidemment que l'on peut noter un intervalle ouvert ]a,b[ néanmoins  la notation (a,b) existe aussi dans la littérature.

Bien cordialement.

Posté par
matheuxmatou
re : Homeorphisme (-1,1) B(0,1) (R²) puis R R² 16-06-18 à 18:00

bonjour,

je pense que tu veux parler des décimales de rang pair ou impair ?

il faut aussi que ta bijection soit continue...

Posté par
SkyMtn
re : Homeorphisme (-1,1) B(0,1) (R²) puis R R² 16-06-18 à 18:22

À mon avis s'il y avait un homéomorphisme, on pourrait retirer le point associé à 0 (dans ]-1,1[) du disque, celui-ci reste connexe par arcs, mais l'intervalle lui ne l'est plus.

Posté par
divampromisy
re : Homeorphisme (-1,1) B(0,1) (R²) puis R R² 16-06-18 à 18:30

matheuxmatou @ 16-06-2018 à 18:00

bonjour,

je pense que tu veux parler des décimales de rang pair ou impair ?

il faut aussi que ta bijection soit continue...

Merci de ta réponse
Oui évidemmenet je voulais parler de la parité du rang des décimales et non de la parité des décimales. Et en effet j'avais oublié le point continu. Après je ne vois pas comment montrer que cette fonction est non continue.

Comment montre simplement qu'il n'existe donc pas d'homotéthie?



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