Bonjour
déja rappelé ailleurs :
le centre d'homothétie , un point et son image sont alignés.

salut

avec ce qui t'a été dit ici Homothétie. tu devrais avoir fait cet exercice sans pb ...

D'accord , .

le centre  de l'homothétie h qui transforme B en I est un point O tel que ( sur mon schéma  |k| >0 )


le centre  de l'homothétie h' qui transforme C en J est un point M  tel que ( sur mon schéma  |k| >0 )

Non,;

il n'y a pas deux homothéties mais une seule, un seul centre
ça c'est juste la définition, et encore, mal récitée

le centre de l'homothétie h qui transforme B en I est un point O tel que
faux



faut pas confondre BO et OB ni l'ordre dans lequel l'homothétie est définie
B transformé en I
OB transformé en OI


et il faut en tirer les conséquences c'est à dire savoir lire ce qu'on te dit :
B, O, I sont alignés
etc

Je crois qu'il y a une erreur dans l'énoncé .

Parce que si on considère le point O comme centre de l'homothétie , les points BOI sont alignés et par ailleurs les point COJ sont alignés .

Ce qui est impossible car I est le milieu de [AB] et J celui de [AC]

les points BOI sont alignés et par ailleurs les point COJ sont alignés .
oui parfaitement, c'est très bien et c'est ça

Ce qui est impossible
bein voyons ...
traces les ces deux droites (en plus elles le sont déja, il y a juste à ouvrir les yeux. ...)

Les deux droites sont (BJ) et (CI) .

Et ensuite le centre d'homothétie O qui transforme B en I est le point d'intersection de  la perpendiculaire à [IB] passant par l'intersection des droites (IC) et (JB) et la droite (AB) .

le centre d'homothétie O qui transforme C en J est le point d'intersection de  la perpendiculaire à [JC] passant par l'intersection des droites (IC) et (JB) et la droite (AC) .

bein voyons .... des perpendiculaires ... et puis quoi encore , pourquoi pas des ellipses ou des strophoïdes ...

1ère question :
les points BOI sont alignés et par ailleurs les point COJ sont alignés .
oui parfaitement, c'est très bien et c'est ça

et quels que soient les points B, I, C, J du plan du moment qu'ils ne sont pas confondus on peut tracer les droites (BI) et (CJ)



I milieu de [AB] et J milieu de [AC] n'ont absolument pas leur mot à dire là dedans
ça ne servira que pour calculer la valeur de k

et encore ...

le théorème des milieux (niveau collège) donne immédiatement la réponse ...

même pas...
(en fait on peut démontrer ce théorème des milieux par l'homothétie en question, mais n'en disons pas trop parce que comme d'habitude Othnielnzue23 aura fait faire son exo par les intervenants)

oui j'ai voulu le mettre en blanc en Latex ... mais je n'y suis pas arrivé

et la fonction blank ne marche pas ici ...

c'est dommage de ne pas avoir un latex un peu plus performant ... (au passage si jamais maintenant que tu es modo ..)

disons que c'est une vision supplémentaire de la situation ...

Ce qui me gène c'est le fait qu'on peut avoir le point O sur [IB] et en même temps sur [JC] .

bein oui, et tu le connais ce point O
il existe déja et porte un autre nom
de même que les droites (BI) et (CJ) existent déja et ... on les aurait appelées autrement, mais c'est les mêmes droites et le même point

D'accord , comment calculer k ?

En lisant l'énoncé de l'exercice ?

par la définition pardi ...
 sachant que I est le milieu de AB

Oui , k=1/2 car AI=1/2AB (vecteurs)

et comme je le disais (mais prends tu en compte ce qu'on dit ? ) il faut vérifier que c'est pareil entre A, C, J pour que ce soit effectivement une homothétie.

et puis B I et C J implique que , et donc

ce qui est l'expression vectorielle du "théorème des milieux" cité par carpediem

et réciproquement, le théorème des milieux implique que l'homothétie existe (car IJ // BC) et a pour rapport 1/2 ( car IJ = 1/2 BC dit ce théorème)

tu n'as plus qu'à faire la question 2 qui se fait de la même façon.
et nommer "judicieusement (ah ah ah ) le centre d'homothétie de cette question 2

Ok,

2) Considérons le point D comme centre d'homothétie h' qui transforme B en J et C en I .

==> Les points B , D et J sont alignés et par ailleurs les points C , D et I sont alignés .


Je trace les droites (CI) et (BJ)  , leur point d'intersection est le centre D d'homothétie h' ...

==> et



Or   et


.

D'où l'homothétie h' existe et a pour rapport 1/3.

définition fausse d'une homothétie. donc calculs faux
par ailleurs d'où sort cette valeur ?
quel est donc ce point D au nom si mal choisi ?

en continuant tout de même à l'appeler D, la définition correcte de cette homothétie est :
D centre d'homothétie donc

mais aussi :
B J et C I donc     et par conséquent  

mais ... la question 1 disait que  

et donc quelle est la valeur de k' ?
(quasiment sans calcul et sans faire intervenir des valeurs mystérieuses tirées d'un chapeau sans dire duquel)

k'=-1/2

Oui.

et au passage D est le c;entre de gravité du triangle, intersection des médianes BJ et CI

et on vient de démontrer que puisque , par conséquent D est au 1/3 de BJ à partir de J

Bonjour ,

Oui , c'est ce que je voulais dire.

le théorème des milieux implique que l'homothétie h' existe (car DJ // DC)

Comment choisir le rapport ?

Parce que la on a deux rapports J=-1/2 DB et JD=1/3JB.

Oups DJ=-1/2DB

(car DJ // DC)
on va dire que tu as tapé sans penser à ce que tu tapais !
de "l'écriture automatique" où c'est ta main seule qui écrit sans intervention du cerveau...


DJ= -1/2 DB (en vecteurs) EST le rapport d'homotétie de centre D par définition

JD = 1/3 JB ne représente rien dans le contexte de l'exo car le centre d'homothétie n'est pas J mais D

Bonjour,
Les précédents intervenants vont craquer là :
"(car DJ // DC)"
Et ton "DJ=-1/2DB", mathafou te l'avait écrit juste au dessus...

Il y a 2 façons de trouver le rapport k' de l'homothétie après avoir trouvé que son centre D est le centre de gravité du triangle.

a) I est l'image de C et J est l'image de B. Donc IJ = k'.CB (en vecteurs).
Or, d'après le théorème des milieux IJ = ...BC (en vecteurs) ; donc k' = ... .

b) Le point D est au 2/3 à partir de B sur la médiane issue de B ;
donc DJ = ...DB (en vecteur).
De même DI = ...DC (en vecteur).
D'où k' = ... .

Bonjour mathafou,
Bravo, tu n'as pas craqué !
Mais un peu énervé sans doute.
"DJ= -1/2 DB (en vecteurs) DONNE le rapport d'homothétie de centre D par définition"

oui. c'est ma main qui a pensé sans intervention de mon cerveau
ou le cerveau qui a émis deux ordres simultanés qui se sont mélangés entrainant un lapsus
(c'est comme ça que se créent les lapsus en général : télescopage de deux pensées différentes en même temps)


DJ= -1/2 DB (en vecteurs) EST la définition de l'homothétie de centre D
DJ= -1/2 DB (en vecteurs) DONNE le rapport d'homothétie de centre D par définition

Je voulais dire plutôt (car DJ // DB)

Merci beaucoup.

(car DJ // DB)
n'importe quoi ... ces deux droites sont confondues, c'est la même droite !! et ça n'apporte rien.
ce que tu dis est D, J, B alignés et rien d'autre

et ce n'est pas parce qu'ils sont alignés que l'homothétie existe

l'homothétie existe si :

deux paires de points alignés avec le centre D sont dans le même rapport
c'est à dire que
D, J, B alignés avec
 et 
D, I, C alignés avec
 et   

ou bien
deux segments homologues sont parallèles et inégaux
B J
C I
donc les segments [BC] [JI] sont homologues

or (droite des milieux) ils sont parallèles (et inégaux puisque l'un est la moitié de l'autre dit le théorème de la droite des milieux)

donc il existe bien une homothétie qui transforme B en J et C en I et de rapport k' tel que (attention à quels sont les points homologues)

cette deuxième façon de faire ne dit rien sur le centre de l'homothétie qui doit être déterminé autrement : par l'alignement su centre avec des points et leur image

nota :
si deux segments homologues sont parallèles et égaux, ce n'est pas une homothétie mais une translation

Ok , merci beaucoup.

maintenant que l'exo est terminé

HS : à propos de [carpediem] "et la fonction blank ne marche pas ici ..."
on peut faire du blank n'importe où si on est modo (ou correcteur suffit) en écrivant en HTML, encore faut il connaître le HTML et les CSS
phrase blanquée : c'est caché fin
("gratter" à la souris)

mais le blank en LaTeX, même si tout le monde peut en faire (à condition de connaître le LaTeX) a l'inconvénient :
que tant que le code n'est pas traduit par le serveur en image  (quelques ms, au pire quelques secondes) on voit le texte en clair
et après on ne peut pas le "révéler" (car c'est une image), il faut aller le chercher dans le source (à condition de savoir qu'il y en a un, de texte caché !)
un texte caché en LaTeX : impossible à révéler bien qu'il soit là en blanc sur blanc

on peut le mettre en gris très très clair pour qu'il soit "très peu visible"
texte presque invisible :

(au passage si jamais maintenant que tu es modo ..) :
les modérateurs ne peuvent toutefois pas modifier le fonctionnement de l'ile
seuls les webmasters le peuvent et si on veut faire évoluer l'ile il faut en faire la demande argumentée sur le forum "site"
et pour ce qui est du blank n'importe où il y a peu de chance que ça évolue (il me semble même avoir vu deja une discussion sur le sujet)
vu que ce n'est pas l'objectif des forums (fora ?) d'entraide de cacher des réponses

merci pour ces info ...

oui je sais pour blank et je trouve cela normal ... no problemo

pour ce qui est du fait que tu sois modo je parlais plutôt du fait que probablement vous échangez souvent  (ou du moins de temps en temps) sur d'éventuelles modif ... plus pour le latex  (par exemple j'ai voulu essayé un coup de mettre en gras mais je n'y suis pas arrivé non plus)

ici ok si ça transforme en image je comprends que ça n'aie pas d'intérêt ... (pour le blanc)

par contre comme je disais : un latex peut-être un peu plus performant avec surtout une doc plus complète que ce qu'on trouve sur la FAQ (ou du moins un lien vers quelque chose "d'à peu près raisonnable" sur certaine mise en forme en particulier