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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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homothétie et translation

Posté par
mousse42
21-02-20 à 00:58

Bonjour
Soit E un espace affine.

Soit T:M\mapsto T(M)=M+v une translation .

Et H: M\mapsto H(M)=C+k(M-C) une homthétie de centre C (k\ne 0,1)

L'objectif est de montrer que H\circ T est une homothétie de centre que l'on calculera.

\begin{array}{ll}H\circ T(M)&=H(M+v)=C+k[(M+v)-C]\\\\&=C+k[(M+v-M)+(M-C)]\\\\&=C+k[v+(M-C)]\\\\&=C+k\left[\dfrac{1}{k+1}v+\dfrac{k}{k+1}v+(M-C)\right]\\\\&=C+\dfrac{k}{k+1}v+k\underbrace{\left[\dfrac{k}{k+1}v+(M-C)\right]}_{\text{je bloque ici}}\end{array}

Pour simplifier je note u=\dfrac{k}{k+1}v

On a donc (M-C)+u et je désire avoir M-(C+u) , ce qui me donnerais H\circ T(M)=C+u+k(M-(C+u)) une homothétie de centre C+u

Donc je vérifie si cette égalité est vraie :
(M-C)+u=M-(C+u)


Et là j'ai un problème le voici

il existe un point  X\in E tel que u=X-C


\begin{array}{rl}(M-C)+(X-C)&=M-(C+(X-C))\\(M-X)+(X-C)+(X-C)&=M-X\end{array}

Donc X-C=u=\vec{0}, donc cette égalité est fausse . Je reste boqué...je ne vois plus.

Merci pour votre aide

Posté par
mousse42
re : homothétie et translation 21-02-20 à 01:35

Ok, c'est bon je viens de trouver mon problème  

Posté par
luzak
re : homothétie et translation 21-02-20 à 08:00

Tu aurais trouvé plus facilement en cherchant un point invariant de la composée !

Posté par
mousse42
re : homothétie et translation 21-02-20 à 10:52

Merci  luzak, en effet en cherchant un point fixe de H\circ T simplifie grandement la recherche du centre en supposant que H\circ T est une homothétie.


 \\ \begin{array}{ll}H\circ T(X)=X&\iff C+k(X+v-C)=X\\\\&\iff C+k(X+v-C)=C+X-C \\\\&\iff k(X+v-C)=X-C\\\\&\iff k[(X+v-X)+(X-C)]=X-C\\\\&\iff k[v+(X-C)]=X-C\\\\&\iff X-C=\dfrac{k}{1-k}v\iff X=C+\dfrac{k}{1-k}v\end{array}

Montrons que : X+k(M-X)=C+k(M+v-C)


 \\ \begin{array}{lll}C+\dfrac{k}{1-k}v+k\left(M-C+\dfrac{k}{1-k}v\right)&=C+k\left[\left(M-C+\dfrac{k}{1-k}v\right)+\dfrac{1}{1-k}v\right]&1\\\\&=C+k\left[\left((M-C)+(C-C+\dfrac{k}{1-k}v)\right)+\dfrac{1}{1-k}v\right]&2\\\\&=C+k\left[\left((M-C)-(C+\dfrac{k}{1-k}v-C)\right)+\dfrac{1}{1-k}v\right]&3\\\\&=C+k\left[\left((M-C)-\dfrac{k}{1-k}v\right)+\dfrac{1}{1-k}v\right]&4\\\\&=C+k\big[(M-C)+v\big]&5\\\\&=C+k\Big[(M-M+v)+(M+v-C)+v\Big]&6\\\\&=C+k(-v+(M+v-C)+v)&7\\\\&=C+k(M+v-C)=H\circ T(M)&8\end{array}

Et ma dernière question, n'y a-t-il pas plus simple, car la manipulation des points et des vecteurs est assez délicate, par exemple passer de la ligne 5 à la igne 8 m'a fallu 10 bonnes minutes voire plus

Posté par
carpediem
re : homothétie et translation 21-02-20 à 12:27

salut

ouais franchement tu n'es guère efficace ...

puisqu'on connait le résultat alors comme le dit luzak on détermine le point fixe :

H \circ T(X) = X \iff C + k(X + v - C) = X \iff C - X + k(X - C + v) = 0 \iff (k - 1)(X - C) = kv \iff X = C + \dfrac k {k - 1} v

H \circ T(M) - X = H \circ T(M) - H \circ T(X) = C + k(M + v - C) - [C + k(X + v - C] = k(M - X)

donc le rapport d'homothétie est encore k ...

Posté par
mousse42
re : homothétie et translation 21-02-20 à 13:09

carpediem

C + k(X + v - C) = X \iff C - X + k(\textcolor{red}{(}X - C \textcolor{red}{)} + v) = 0


Salut carpediem

Il ne manque pas ces parenthèse en rouge...

Sinon pour être efficace,  y a rien à dire, cependant tu sautes combien d'étapes?

Si j'utilise le formalise des espace affines :


 \\ \begin{array}{ll}C + k(X + v - C) = X&\iff C =X+(- k(X + v - C))\iff C-X=- k(X + v - C)\\&\iff (C-X)+k(X + v - C)=\vec{0}\iff(C-X)+k((X- C)+v)=\vec{0} \end{array}

Je prends un autre exemple :(M-C)+v=M+v-C, se vérifie facilement avec un dessin. Cependant, comme mon chapitre porte sur les espaces affines, je me sens obligé d'utiliser le formalisme des espaces affines ...


(M-C)+v=(M-M+v)+(M+v-C)+v=-(M+v-M)+(M+v-C)+v=-v+(M+v-C)+v=M+v-C.

Ma question est comment arrives-tu à faire ces bonds, faut-il avoir une liste d'identités remarquables pour les espaces affines telle que :

(M-C)+v=M+v-C

M-C+v=(M-C)-v et d'autres

Posté par
carpediem
re : homothétie et translation 21-02-20 à 13:25

non les parenthèses sont inutiles ...

il est évident qu'avec ce formalisme (dont je ne suis pas vraiment pour car je préfère travailler avec le vecteur \vec {XM} plutôt que M - X) on a évidemment X + v - C = X - C + v

et si on définit N = M + v alors on continue sur la lancée pour définir M - N = v

donc les parenthèses sont inutiles ... (et si tu en mets à X - C il faudrait en mettre aussi à C - X ...) et il faut bien comprendre que M - N désigne le vecteur de la translation qui amène N en M et en particulier M - M est le vecteur nul ...

et je ne saute que quelques étapes élémentaires (factorisation et calcul littéral de collège)



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