Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... LicenceMaths 2e/3e a GéométrieTopics traitant de géométrie [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

homothétie et translation

Posté par
mousse42 21-02-20 à 00:58

Bonjour
Soit E un espace affine.

Soit T:M\mapsto T(M)=M+v une translation .

Et H: M\mapsto H(M)=C+k(M-C) une homthétie de centre C (k\ne 0,1)

L'objectif est de montrer que H\circ T est une homothétie de centre que l'on calculera.

\begin{array}{ll}H\circ T(M)&=H(M+v)=C+k[(M+v)-C]\\\\&=C+k[(M+v-M)+(M-C)]\\\\&=C+k[v+(M-C)]\\\\&=C+k\left[\dfrac{1}{k+1}v+\dfrac{k}{k+1}v+(M-C)\right]\\\\&=C+\dfrac{k}{k+1}v+k\underbrace{\left[\dfrac{k}{k+1}v+(M-C)\right]}_{\text{je bloque ici}}\end{array}

Pour simplifier je note u=\dfrac{k}{k+1}v

On a donc (M-C)+u et je désire avoir M-(C+u) , ce qui me donnerais H\circ T(M)=C+u+k(M-(C+u)) une homothétie de centre C+u

Donc je vérifie si cette égalité est vraie :
(M-C)+u=M-(C+u)


Et là j'ai un problème le voici

il existe un point  X\in E tel que u=X-C


\begin{array}{rl}(M-C)+(X-C)&=M-(C+(X-C))\\(M-X)+(X-C)+(X-C)&=M-X\end{array}

Donc X-C=u=\vec{0}, donc cette égalité est fausse . Je reste boqué...je ne vois plus.

Merci pour votre aide

Posté par
mousse42re : homothétie et translation 21-02-20 à 01:35

Ok, c'est bon je viens de trouver mon problème  

Posté par
luzakre : homothétie et translation 21-02-20 à 08:00

Tu aurais trouvé plus facilement en cherchant un point invariant de la composée !

Posté par
mousse42re : homothétie et translation 21-02-20 à 10:52

Merci  luzak, en effet en cherchant un point fixe de H\circ T simplifie grandement la recherche du centre en supposant que H\circ T est une homothétie.

\\ \begin{array}{ll}H\circ T(X)=X&\iff C+k(X+v-C)=X\\\\&\iff C+k(X+v-C)=C+X-C \\\\&\iff k(X+v-C)=X-C\\\\&\iff k[(X+v-X)+(X-C)]=X-C\\\\&\iff k[v+(X-C)]=X-C\\\\&\iff X-C=\dfrac{k}{1-k}v\iff X=C+\dfrac{k}{1-k}v\end{array}

Montrons que : X+k(M-X)=C+k(M+v-C)

\\ \begin{array}{lll}C+\dfrac{k}{1-k}v+k\left(M-C+\dfrac{k}{1-k}v\right)&=C+k\left[\left(M-C+\dfrac{k}{1-k}v\right)+\dfrac{1}{1-k}v\right]&1\\\\&=C+k\left[\left((M-C)+(C-C+\dfrac{k}{1-k}v)\right)+\dfrac{1}{1-k}v\right]&2\\\\&=C+k\left[\left((M-C)-(C+\dfrac{k}{1-k}v-C)\right)+\dfrac{1}{1-k}v\right]&3\\\\&=C+k\left[\left((M-C)-\dfrac{k}{1-k}v\right)+\dfrac{1}{1-k}v\right]&4\\\\&=C+k\big[(M-C)+v\big]&5\\\\&=C+k\Big[(M-M+v)+(M+v-C)+v\Big]&6\\\\&=C+k(-v+(M+v-C)+v)&7\\\\&=C+k(M+v-C)=H\circ T(M)&8\end{array}

Et ma dernière question, n'y a-t-il pas plus simple, car la manipulation des points et des vecteurs est assez délicate, par exemple passer de la ligne 5 à la igne 8 m'a fallu 10 bonnes minutes voire plus

Posté par
carpediemre : homothétie et translation 21-02-20 à 12:27

salut

ouais franchement tu n'es guère efficace ...

puisqu'on connait le résultat alors comme le dit luzak on détermine le point fixe :

H \circ T(X) = X \iff C + k(X + v - C) = X \iff C - X + k(X - C + v) = 0 \iff (k - 1)(X - C) = kv \iff X = C + \dfrac k {k - 1} v

H \circ T(M) - X = H \circ T(M) - H \circ T(X) = C + k(M + v - C) - [C + k(X + v - C] = k(M - X)

donc le rapport d'homothétie est encore k ...

Posté par
mousse42re : homothétie et translation 21-02-20 à 13:09

carpediem

C + k(X + v - C) = X \iff C - X + k(\textcolor{red}{(}X - C \textcolor{red}{)} + v) = 0


Salut carpediem

Il ne manque pas ces parenthèse en rouge...

Sinon pour être efficace,  y a rien à dire, cependant tu sautes combien d'étapes?

Si j'utilise le formalise des espace affines :

\\ \begin{array}{ll}C + k(X + v - C) = X&\iff C =X+(- k(X + v - C))\iff C-X=- k(X + v - C)\\&\iff (C-X)+k(X + v - C)=\vec{0}\iff(C-X)+k((X- C)+v)=\vec{0} \end{array}

Je prends un autre exemple :(M-C)+v=M+v-C, se vérifie facilement avec un dessin. Cependant, comme mon chapitre porte sur les espaces affines, je me sens obligé d'utiliser le formalisme des espaces affines ...


(M-C)+v=(M-M+v)+(M+v-C)+v=-(M+v-M)+(M+v-C)+v=-v+(M+v-C)+v=M+v-C.

Ma question est comment arrives-tu à faire ces bonds, faut-il avoir une liste d'identités remarquables pour les espaces affines telle que :

(M-C)+v=M+v-C

M-C+v=(M-C)-v et d'autres

Posté par
carpediemre : homothétie et translation 21-02-20 à 13:25

non les parenthèses sont inutiles ...

il est évident qu'avec ce formalisme (dont je ne suis pas vraiment pour car je préfère travailler avec le vecteur \vec {XM} plutôt que M - X) on a évidemment X + v - C = X - C + v

et si on définit N = M + v alors on continue sur la lancée pour définir M - N = v

donc les parenthèses sont inutiles ... (et si tu en mets à X - C il faudrait en mettre aussi à C - X ...) et il faut bien comprendre que M - N désigne le vecteur de la translation qui amène N en M et en particulier M - M est le vecteur nul ...

et je ne saute que quelques étapes élémentaires (factorisation et calcul littéral de collège)


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !