C'est illisible et le peu de choses claires ne fait absolument aucun sens !
Recopie l'énoncé exact s'il te plait

Soit E un R-espace vectoriel et f ∈ L (E), on dit qu'un sous espace vectoriel F de E est stable par f si, et seulement
si, f (F) ⊂ F.
On dit que f possède la propriété S si tout sev de E stable par f admet un supplémentaire stable par f .
On se propose d'étudier les propriétés de stabilité et la propriété S .
    Montrer que si f est une homothétie (f = αi dE avec α ∈ R), alors tout sev de E est stable par f .
Une homothétie possède-t-elle la propriété S ?

Merci d'avoir pris le temps de tout recopier. C'est quand même mieux, non ?

Il est faux de dire que f est forcément une bijection, parce que si alpha = 0, f est l'application nulle !
Il n'est pas nécessaire de toute façon d'étudier la bijectivité, la stabilité de tout sev par f fait partie de la définition d'un espace vectoriel. Par définition, si x appartient à un espace vectoriel F, alors αx lui appartient aussi, pour tout α réel. En particulier, f(F) est inclus dans F trivialement (et en fait c'est une égalité).


Pour la propriété S, tout a déjà été fait. Si F et G sont des sev de E, il sont automatiquement stables par f. Est-ce que tout sev de E a un supplémentaire, déjà ?

Si on parle d'un s-ev de dimention finie alors c'est vrai que tout s-ev admet un supplementaire on peut utiliser le theoreme de la base incompléte pour la démonstration , mais si cette espace est de dimension infinie ce n'est pas le cas est ce que toujours  cette proposition reste juste