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Homotopie stricte
Bonjour,
j'ai un exercice pour démontrer que l'union de deux ouverts simplement connexes est simplement connexe si l'intersection est non vide et connexe. Pour ça, il y a quelques questions préliminaires et je bloque sur celle-ci :
"Soit dans chemins dans
qui ont même point initial et terminal. Montrer que si le lacet
est homotopiquement trivial, alors
sont strictement homotopes."
où désigne le lacet concaténé
et (
parcouru dans le sens inverse).
Bon en faisant des dessins j'arrive bien à voir pourquoi c'est vrai, comme le lacet est homotopiquement trivial il n'y a pas de "trou" à l'intérieur, mais je n'arrive pas à l'exprimer sur papier... Auriez-vous une piste ? Je n'arrive pas à exhiber de constructions...
Merci.
Bonjour,
Tu as un homeomorphisme entre IxI, et IxI/Ix0 et meme avec IxI/Ix0uIx1.
Compose cette homeomorphisme avec ton homotopie donnant la trivialité du lacet, et elle te donnera une homotopie entre les deux lacets relativement à leurs extrémités.
Ici I est le segment unité [0,1].
Bonjour mokassin, merci de la réponse. Néanmoins je ne comprends pas bien... la notation "/" est à prendre au sens de "privé de" ? Je suis désolé, ça a l'air simple comme solution en plus de ça.
Toutes mes excuses, je n'ai vu la notion d'espaces quotients (en topologie) qu'une fois en lisant un livre et j'ai fini par l'oublier. Je vais regarder ça de plus près. Merci pour cette solution, ça a l'air simple comme ça !
J'en profite un peu, comment montrer que ces ensembles sont bien homéomorphes ? Quelle est l'application ? Désolé d'en demander un peu plus, j'essaye de visualiser la chose.
Est ce que tu saurais dessiner ces ensembles? Si oui, il devrait te "sauter aux yeux" qu'ils le sont.
Oui bien sûr, je le vois, j'étais simplement curieux de connaître un homéomorphisme explicite. Je chercherai plus tard, je vais achever pour mon exercice pour le moment. Merci pour l'aide. Bonne journée.
En vrai si on veut en ecrire un explicite on le peut, mais le plus simple est de remrquer que IxI est un carré, IxI/Ix0 est un cone (enfin un triangle quoi), et IxI/Ix0uIx1 est un cone également (enfin un losange).
Le fait que les deux derniers soient homeomorphes résultent par exemple de l'equivalence des normes 1 et infini.
Une autre manière de le voir c'est que tout ces trucs sont homeorphes au disque "circronscrit" en prenant des rayons issus de leur centre de symétrie. Ceci est en fait vrai de tous les convexes compacts d'intérieur non vide.
On peut ecrire les choses explicitement si tu veux, mais bon, c'est pas d'un interet folichon en vrai.
D'accord, super mokassin pour toutes ces explications, comme ça c'est pas encore super évident à visualiser mais ça viendra !
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