bonjour, j'ai un peu de mal avec l'exercice suivant

On considère un fluide sans viscosité dans le plan (x, y). L'équation de continuité (conservation de masse) est
∂ρ/∂t + ∇ · (vρ) = 0
où v est le champ de vitesse et ρ la densité du fluide. Donc pour un fluide incompressible avec
ρ =constante, ∇ · v = 0.
Si le fluide est irrotationnel, alors
  où γ est un contour fermé. Il en découle que∇ × v = 0. (1)
On supposera ces conditions réalisées dans toute la suite.
1. L'équation (1) représente une condition nécessaire et suffisante de l'existence du potentiel
de vitesse φ : ~v = ∇~ φ. Montrer que φ est une fonction harmonique.
2. Faire un diagramme des lignes de vitesse et des lignes de φ=constante.
3. Utiliser la condition ∇ · ~ ~v = 0 pour montrer qu'il existe une fonction ψ(x, y) telle que
dψ = −vydx + vxdy.
4. Montrer que ~v · ∇~ ψ = 0. Dessiner les lignes de ψ=constante sur le diagramme, et trouver
les relations entre les dérivées de φ et ψ.
5. On introduit la fonction w(x, y)
w(x, y) = φ + iψ.
Montrer que w considérée comme fonction de z = x + iy est dérivable, et inversement à
partir de toute fonction dérivable on peut déduire un champ de vitesse.
6. Montrer que w = vx − ivy
où ~v = vx~i + vy~j,

et donc que|w| = |v|