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Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle

Posté par
Manga2 13-08-13 à 15:10

Bonjour,
Je ne suis qu'en première année lycée (2013-2014 au terminal). Pour résoudre un problème, il faut que je sache comment trouver l'équation (cartésienne ou réduite ou n'importe) de l'hyperbole si j'ai ses deux foyers et un point qui y appartient.J'ai donc lu ce PDF mais ça ne m'a pas permis d'arriver à mon but (je n'ai pas tout compris! ^^)

Pouvez-vous m'aider? Pour être plus précis, on considère dans un plan affine euclidien P un repère orthonormé R=(O,\vec{i},\vec{j}). Et soit A(a,a') et B(b,b') et C(c,c') trois points distincts. Pouvez-vous donc me donner la méthode pour déterminer l'hyperbole H qui a pour foyers A et B et qui passe par C?

Merci!

Posté par
GaBuZoMeure : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 13-08-13 à 15:16

Cette hyperbole est l'ensemble des points M tels que |MA-MB|=|CA-CB|. Il suffit de mettre ça en équation, si tu veux une équation.

Posté par
Manga2re : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 13-08-13 à 17:52

Bonjour, je l'ai mise sur équation, mais ça ne me donne aucune équation claire. Ca donne:

|\sqrt{(x-a)^2+(y-a')^2}-\sqrt{(x-b)^2+(y-b')^2}|=|\sqrt{(c-a)^2+(c'-a')^2}-\sqrt{(c-b)^2+(c'-b')^2}|

Par élévation au carré on a donc:

x^2-(a+b)x+y^2-(a+b)y-\sqrt{((x-a)^2+(y-a')^2)\times ((x-b)^2+(y-b')^2)}=c^2-(a+b)c+c'^2-(a+b)c'-\sqrt{((c-a)^2+(c'-a')^2)\times ((c-b)^2+(c'-b')^2)}

Après je ne sas plus quoi faire. J'ai bien bousillé mon brouillon ça ne donne rien.

Posté par
Manga2re : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 13-08-13 à 17:52

Peux-tu m'aider?

Posté par
GaBuZoMeure : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 13-08-13 à 22:32

Si tu ne veux pas noircir ton brouillon, c'est sûr qu'il vaut mieux éviter de se lancer dans ce calcul.
Un truc :
Posons |CA-CB|=2a. C'est un machin assez moche, mais qui ne contient ni x ni y.
|MA-MB|= 2a, c'est équivalent à (MA-MB)^2-4a^2=0. Et c'est aussi équivalent à ((MA-MB)^2-4a^2)\,((MA+MB)^2-4a^2)=0, parce que 2a<AB\leq MA+MB (inégalités triangulaires) et donc (MA+MB)^2-4a^2 ne s'annule jamais.
Il semble qu'on ait compliqué les choses, mais en fait on s'est débarassé des racines carrées contenant des x ou des y, et quand tu développeras
((MA-MB)^2-4a^2)\,((MA+MB)^2-4a^2)=(MA^2+MB^2-4a^2)^2-4\,MA^2\,MB^2, si tu ne te prends pas les pieds dans le tapis, tu trouveras une équation du second degré en x, y.

Posté par
cheick127recherche le centre de l'hyperbole 13-08-13 à 22:38

bonsoir
Connaissant les deux foyers il est facile de determiner les coordonnées du centre de l'hyperbole, a partir du centre de l'hyperbole tu peux avoir l'équation réduite de l'hyperbole le plus difficile je pense est de determiner l'equation d'une des bissectrices

Posté par
GaBuZoMeure : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 13-08-13 à 23:15

J'ai utilisé la notation |CA-CB|=2a parce que c'est la tradition, mais le a ici n'a rien à voir avec la 1e coordonnée de A.

Posté par
ThierryPomare : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 13-08-13 à 23:25

Bonsoir,

@Manga2 : Tu dis

Citation :
Je ne suis qu'en première année lycée (2013-2014 au terminal).

Peux-tu préciser ?

Avec tout mon respect,

Thierry

Posté par
Manga2re : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 14-08-13 à 00:17

>GaBuZoMeu: Je commence le calucle! Merci!

>cheick127: On aura donc le centre de l'hyperbole est O'(\frac{a+b}{2};\frac{a'+b'}{2})? Si je ne me trompe pas le centre de l'hyperbole est le milieu du segment reliant les deux foyers. Donc l'équation est du type \dfrac{(x-\frac{a+b}{2})^2}{\alpha^2}-\dfrac{(y-\frac{a'+b'}{2})^2}{\beta^2}=1

Il reste à déterminer et . C'est là qu'intervient le troisième point C. Mais on aura donc à trouver ² et ² (pas la peine de savoir leur valuer. Le carré suffit) alors on a besoin de deux points pour constituer un système, mais on n'a qu'un point. Selon le PDF, on a \beta^2=\alpha^2(e^2-1) avec e>1 qui représente l'excentricité de l'hyperbole, mais là encore on ne connait pas sa valeur. Comment fait-on alors?

Posté par
Manga2re : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 14-08-13 à 00:18

>ThierryPoma: L'année scolaire de Septembre 2012 à Juin 2013 j'ai étudié en première. L'année scolaire qui vient de Septembre 2013 à Juin 2014 je serai en terminale.

Posté par
GaBuZoMeure : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 14-08-13 à 07:39

Citation :
Donc l'équation est du type \dfrac{(x-\frac{a+b}{2})^2}{\alpha^2}-\dfrac{(y-\frac{a'+b'}{2})^2}{\beta^2}=1


Absolument pas. Ca n'arrive que si l'axe focal de l'hyperbole (la droite (AB)) est parallèle à l'axe des x.

Posté par
GaBuZoMeure : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 14-08-13 à 08:08

Autre point : le \alpha de l'équation réduite est |CA-CB|/2 (c'est ce que j'ai noté a). Et \alpha^2+\beta^2=|AB|^2/4.

Posté par
Manga2re : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 14-08-13 à 11:56

Je vois. Merci GaBuZoMeu. D'ailleurs grâce à tes indications j'ai pu trouvé l'équation que je recherche. Merci!
Merci à toi aussi cheick127 pour ta participation!

Posté par
GaBuZoMeure : Hyperbole définie par deux foyers et un point d'elle 14-08-13 à 12:29

Avec plaisir.


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