Niveau Reprise d'études

Hypothèse de Riemann et indicatrice d'Euler

Posté par
Meiosis 04-04-24 à 01:15

Bonjour,

Je me remets aux maths en ce moment et j'ai une autre question.
Comment démontrer que :

$\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s}$

Où $\varphi(n)$ est l'indicatrice d'Euler de n.

Merci.

Posté par re : Hypothèse de Riemann et indicatrice d'Euler 04-04-24 à 17:41

On part de :

$\begin{aligned}\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{g(n)}{n^s} & = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s}\sum_{d|n} f(d)g(n/d) \\ &= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(f \star g)(n)}{n^s}\end{aligned}$

Avec $\star$ la convention de Dirichlet
Ainsi en notant $\mu$ la transformée de Moebius, qui est l'inverse de $n \to 1$ pour la convolution de Dirichlet (1)
On a :

$\zeta(s) \sum \frac{\mu(n)}{n^s} = 1$

D'où

$\frac{1}{\zeta(s)} = \sum \frac{\mu(n)}{n^s}$

On finit :

$\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} = \sum \frac{f(n)}{n^s}$

Avec $f(n) = \sum_{d|n} d \mu(n/d) = (Id \star \mu)(n)$

Et on vérifie que $f(n) = \varphi(n)$ (2)

Si tu veux plus d'informations sur les points (1) et (2) n'hésite pas

Posté par re : Hypothèse de Riemann et indicatrice d'Euler 04-04-24 à 18:40

Merci à toi.

Posté par re : Hypothèse de Riemann et indicatrice d'Euler 07-04-24 à 00:10

Tu peux te passer de la fonction de Mobius en montrant directement que 1 * phi = id.
C'est très facile, car cela à revient à montrer que tout n est la somme des phi(n/d) lorsque d divise n.

C'est tout bêtement une partition de Z/nZ en fonction de l'ordre des éléments. Les éléments d'ordre d sont les générateurs du sous groupe engendré par n/d . Il y en a donc phi(n/d). Et ensuite on somme