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ideal et matrice
Bonsoir a tous,
je n'arrive pas a résoudre cet exercice d'algebre :
Sachant qu'un idéal bilatère est une partie de Mn(K) qui est un idéal à gauche et un idéal à droite. Soit I un idéal bilatère de Mn(K).
1. Montrer que si I contient une matrice inversible, alors I =Mn(K).
2. On suppose que I n'est pas une matrice nulle. Soit A
I une matrice non nulle et rgA=r.
a. Montrer que I contient les matrices Jr et J1.
b. Montrer que I contient toutes les matrices de rang 1.
c. Quelle conclusion peut-on en tirer quant aux idéaux bilatères de Mn(K) ?
Merci beaucoup de votre aide !
Bonjour,
est la matrice diagonale qui a
fois 1 et
fois 0 sur la diagonale.
Pour le a): une matrice de rang est équivalente à
: (
avec
et
inversibles).
Pour le b): .
Merci pour vos réponses. 
Jandri peux-tu m'expliquer la b) je n'ai pas tres bien compris comment on démontre cela ? et pour la a), faut-il le redémontrer ?
"une matrice de rang r peut s'écrire avec P et Q inversibles" est dans le cours de MPSI, on n'a donc pas à le redémontrer.
Pour le b), le produit matriciel est immédiat; on en déduit que si
est dans l'idéal alors
aussi.
je vois! on en conclut pour la c) que l'idéal bilatere de Mn(K) est Mn(k) lui-même ? et je suppose que si ce n'est pas cet anneau, c'est l'idéal nul..
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