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Idéal premier et nilpotence
Posté par Nyadis
Salut. Encore moi..!
Soit A un anneau commutatif et unitaire.
J'aimerais montrer l'équivalence, entre a) et b)
a) A admet un seul idéal premier
b) les éléments de A sont nilpotent ou inversible.
J'ai facilement obtenu que b) implique a). Par contre dans sens retour j'arrive pas à utiliser l'unicité de l'idéal premier de A.
Merci de vos réponses
Bonjour
Soit un idéal premier de
. Soit
un élément non inversible de
. Comme
est nilpotent, il existe
tel que
. Comme
est premier...
Camélia @ 02-08-2021 à 16:46
Bonjour
Soit
un idéal premier de 
. Soit 
un élément non inversible de . Comme est nilpotent, il existe 
tel que 
. Comme est premier...
Bonjour
Soit
Merci .
Mais je pense pas que cela réponde à ma préoccupation. Quand vous dîtes :comme a est nilpotent ... Cette hypothèse nous ne l'avons pas !
Enfait je veux montrer que si on a un unique idéal premier dans A alors tout élément de A est soit inversible soit nilpotent. Si vous supposez a non inversible alors faudrait montrer qu'il est nilpotent
Bonsoir.
Si n'est pas nilpotent, il y a un idéal premier qui ne contient pas
(considérer un idéal maximal parmi ceux qui ne contiennent aucune puissance de
).
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