Cet* exercice
Est ce que tous les idéaux principaux contenant I*

salut

tu peux remarquer que :



or

donc a = ...

Je ne trouve pas la même expression:

ha oui !!

une condition suffisante pour que x divise i est que x divise a et x divise b ...

donc je chercherai les diviseurs de a et b ...

Bonjour,
La norme peut être utile.  Rappel : , et la norme d'un produit est le produit des normes. Donc la norme d'un diviseur est un diviseur de la norme.

Bonsoir,
Merci pour vos remarques Carpediem  et GBZM j'en ai été à me poser la question des diviseurs d'alpha et beta mais justement je bloque par rapport à la norme car Z[\sqrt{-3}] n'est pas un domaine euclidien  donc n'a pas de norme ?

Bien sur que si il y a une norme ! Je te l'ai donnée explicitement, et elle est multiplicative comme il se doit pour une norme. Le fait d'être euclidien ou pas n'empêche pas d'avoir une norme !
Quelles sont les normes de et   ? Quelle peut être la norme d'un diviseur commun ?

Bonjour, je croyais que c'était obligatoire désolé j'ai du mal comprendre mon cours:

Donc  
si N(x) = 1  alors x is inversible donc (x) = R
si N(x) = 2 , il n'y a pas de candidat de x.
si N(x)= 4 alors

Je ne vois pas comment conclure avec ces résultats

Nan, tu t'es trompé pour la norme 4. Corrige, et vérifie s'il y a parmi ceux que tu trouves des diviseurs communs de et .

si N(x) = 4 alors
Je ne vois pas de diviseurs communs de a ou de b parmi cet ensemble dans

Cherche mieux.

Bonjour,
2 divise beta mais pas alpha
1+ divise beta mais pas alpha
  divise alpha et beta
  divise alpha et beta
  divise beta mais pas alpha

Donc les diviseurs communs sont
Donc le seul idéal principal de mon anneau c (ontenant (a,b) est (1-\sqrt{-3})  qui correspond à un pgcd.

2) I = (1-\sqrt{-3})

Qu'en penses tu ?

Pour la 2 j'ai l'impression que c'est plus profond que ça car notre chargé de TD nous a dit à l'oral un indice " Pourquoi 4 est dans I"
Et 4 est dans I car mais je vois pas le rapport avec la  conclusion I =(1+\sqrt{-3})

Bon tu as trouvé un pgcd de et . Mais tu ne peux pas en déduire que l'idéal est l'idéal principal engendré par ce pgcd, puisque l'anneau n'est pas euclidien et qu'on n'a pas a priori d'identité de Bézout.
Mais rien ne t'empêche de chercher une identité de Bézout à la sueur de ton front, en essayant de trouver des entiers tels que

D'accord, j'en ai trouvé pleins !!
Par exemple on peut prendre (a,b,c,d) =  (-2, -3, 0, 2)
donc mais dans ce cas à quoi rime l'indice qu'on m'a donné ?

Il n'y a pas qu'une seule façon de faire les choses. Tu verras bien à quoi pensais ton enseignant quand il fera son corrigé.

D'accord merci beaucoup GBZM pour tes indications !

Avec plaisir.