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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Idéaux et isomorphisme

Posté par
Vantin
01-10-22 à 14:18

Bonjour, je bloque sur un exercice en voici l'énoncé :

On définit  R=\Z\left[ \sqrt{-7}\right]= \{ a+b\sqrt{-7} | a,b \in \ZZ \} un sous-anneau de \CC avec identité et  R=\{-1,1\}

1) Montrer que $\phi : R \to \ZZ /4\ZZ$ définie par  \phi(a+b\sqrt{-7})=\overline{a+b}  est un morphisme d'anneau et trouver \alpha   dans R tel que  \alpha donne lieu à un morphisme d'anneau R/(4,\alpha) \cong \ZZ/4\ZZ sous le premier théorème d'isomorphisme
pour les anneaux (Bien sûr, vous devez montrer que vous obtenez bien cet isomorphisme pour votre \alpha


2) Montrer que l'idéal J = (2,1 + \sqrt{-7}) de R satisfait J^2= (2)  mais que J n'est pas principal.


1) Montrer que c'est un isomorphisme c'est fait
Pour l'autre partie de la question, voici mon plan d'attaque:
-Trouver \alpha tel que (4,\alpha) = ker(\phi)
-Montrer que le morphisme est surjectif et on pourra conclure via le théorème d'isomorphisme.

Avant de déterminer \alpha tel que (4,\alpha) = ker(\phi), je me suis dis qu'il fallait que je trouve à quoi ressemble le noyau:

\a+b\sqrt{-7} \in Ker\phi \Rightarrow \overline{a+b} = \overline{0} \Leftrightarrow a+b = 4k \mbox{ with } k \in \ZZ \Leftrightarrow a= 4k-b\
\a+b\sqrt{-7} = 4k-b +b\sqrt{-7} = 4k-b(1-\sqrt{-7})
On remarqueque (1-\sqrt{-7})(1+\sqrt{-7})=8

 a+b\sqrt{-7} =4k-b(1-\sqrt{-7}) = (1-\sqrt{-7})\left[-b+k\frac{(1+\sqrt{-7})}{2} \right]
Et là je bloque car -b+k\frac{(1+\sqrt{-7})}{2} n'est pas inclus dans Z[\sqrt{-7}] donc je sais pas trop quoi faire

Posté par
carpediem
re : Idéaux et isomorphisme 01-10-22 à 14:32

salut

il y a beaucoup de R (qui désigne déjà l'ensemble des réels) et un manque ... :

Vantin @ 01-10-2022 à 14:18

Bonjour, je bloque sur un exercice en voici l'énoncé :

On définit  R=\Z\left[ \sqrt{-7}\right]= \{ a+b\sqrt{-7} | a,b \in \ZZ \} un sous-anneau de quoi ? \CC avec identité et  R=\{-1,1\}
il ne faut pas doubler les lettres ...

Posté par
Rintaro
re : Idéaux et isomorphisme 01-10-22 à 14:38

Bonjour,

tu devrais relire ton énoncé avant de le poster, beaucoup de lettres sautent ce qui rend ton message difficile à lire.

Déjà, tu dis avoir prouvé que ton application est un isomorphisme, je suppose que tu voulais simplement dire morphisme d'anneaux. Ensuite, si ton développement est juste, tu as déterminé ton élément mais tu as continué trop loin dans ton raisonnement ; regarde la dernière ligne avant "on remarque que...".

Et je te signale (c'est pas immédiat) qu'en réalité, \dfrac{1 + \sqrt{-7}}{2} \in \Z[\sqrt{-7}] ; c'est un résultat sympa lié au fait que cet anneau est "l'anneau des entiers" de \Q(\sqrt{-7}) avec -7 \equiv 1~ (\text{mod} ~4).

Posté par
Rintaro
re : Idéaux et isomorphisme 01-10-22 à 14:39

Devancé par carpediem, désolé je n'ai pas vérifié les réponses avant de poster (j'en ai perdu l'habitude). Je te laisse continuer avec Vantin

Bonne journée à vous deux

Posté par
carpediem
re : Idéaux et isomorphisme 01-10-22 à 14:56

Rintaro : tu peux continuer ...

Posté par
Vantin
re : Idéaux et isomorphisme 01-10-22 à 14:57

Je suis désolé, j'ai l'habitude d'écrire en anglais et en latex et ensuite le convertir via les règles d'écriture du forum ce qui mène à des oublis. Je ferais plus attention à l'avenir.
C'est un sous anneau de \C. R c'est pour ring et encore désolé a et b sont des entiers relatifs donc a,b \in \Z. Enfin il s'agit de R^*=\{-1,1\}.
Oui je voulais dire morphisme d'anneau...

Par contre je ne pense pas que je suis allé trop loin dans mon raisonnement. En effet après la phrase on remarque que, j'essaye de montrer que l'inclusion ker(\phi) \subset  (4,\alpha) dans le but de montrer que (4,\alpha)=ker(\phi)

Posté par
Vantin
re : Idéaux et isomorphisme 01-10-22 à 15:03

J'avoue ne pas comprendre pourquoi \frac{1+i\sqrt{7}}{2} \in \Z[\sqrt{-7}], je viens de prouver au brouillon que \Z[\sqrt{-7} \subset \Z[\frac{1+i\sqrt{7}}{2} ] (inclusion stricte) et à fortiori, \frac{1+i\sqrt{7}}{2} a pour coefficient 1/2, 1/2 qui ne sont pas des entiers comment cela se fait que \frac{1+i\sqrt{7}}{2} \in \Z[\sqrt{-7}] ?

Posté par
GBZM
re : Idéaux et isomorphisme 01-10-22 à 15:51

Bonjour,
C'est faux, Rintaro s'est un peu emballé. \dfrac{1+\sqrt{-7}}2 n'appartient bien sûr pas à \mathbb Z[\sqrt {-7}].
Par contre \dfrac{1+\sqrt{-7}}2 est bien entier sur \mathbb Z, son polynôme minimal est x^2-x+2. Il engendre l'anneau des entiers de \mathbb Q[\sqrt{-7}].

Posté par
Vantin
re : Idéaux et isomorphisme 01-10-22 à 16:13

D'accord, je viens de montrer que (4,\alpha) \subset ker\phi.
Soit z \in (4,\alpha) donc  z = 4x +y(1-\sqrt{-7}) avec x,y \in R
\phi(z) = \phi(4x) +\phi(y)\cdot\phi(1-\sqrt{-7}) = \overline{4x} + \overline{y} \cdot \overline{1-1} = 0
Donc z \in ker(\phi)
Je suis toujours bloqué pour le sens inverse

Posté par
GBZM
re : Idéaux et isomorphisme 01-10-22 à 16:35

Hum, tu te mélanges un peu les pinceaux. Tu écris \overline y comme si y appartenait à \mathbb Z.
Pour montrer que \langle 4,1-\sqrt{-7}\rangle\subset \ker \phi, il suffit de vérifier \phi(4)=\phi(1-\sqrt{-7})=0.
Pour montrer l'inclusion inverse, tu as déja fait le boulot. Tu prends un élément x+y\sqrt{-7}\in \ker \phi, il existe un entier relatif k tel que x+y=4k, et tu as écrit x+y\sqrt{-7} =4k -y(1-\sqrt{-7}).

Posté par
Rintaro
re : Idéaux et isomorphisme 01-10-22 à 17:38

Citation :
C'est faux, Rintaro s'est un peu emballé.


un peu, un peu... beaucoup plutôt. Je suis désolé. Je vais remettre ça sur la fièvre de mon (ou ma) covid pour me rassurer et en espérant que cette excuse bidon passe.

Posté par
Vantin
re : Idéaux et isomorphisme 02-10-22 à 05:06

Bonjour, il me reste plus qu'à montrer que J n'est pas principal. J'ai eu un indice pour répondre à la question : utiliser le fait que
(a) = (b)\phantom{a} a,b\in R \Leftrightarrow a=ub avec u inversible.
Supposons que J =(\beta).
J'imagine qu'il faut appliquer ce résultat à J^2 donc j'ai
(2)\cdot J = (\beta)(\beta) mais je ne vois pas comment utiliser l'indice à partir de là...

Posté par
Rintaro
re : Idéaux et isomorphisme 02-10-22 à 15:11

Bonjour,

si J = (b), alors (2) = J² = (b)(b) = ... ? Donc 2 = ... ?

De plus, 2 est un élément spécial dans ton anneau R, vois-tu pourquoi ? En quoi cela contredit l'hypothèse ?

Posté par
GBZM
re : Idéaux et isomorphisme 02-10-22 à 15:36

Il reste à voir que J^2=2.
Je trouve finalement plus simple de voir directement que \langle 2, 1+\sqrt{-7}\rangle n'est pas principal : quels sont les diviseurs communs de 2 et 1+\sqrt{-7} ? On peut utiliser la norme.

Posté par
Vantin
re : Idéaux et isomorphisme 02-10-22 à 23:04

Je n'ai pas encore vu les propriétés de diviseur communs pour les anneaux.

J\cdot J = (\beta)(\beta) = \{ \beta\cdot x_1 + \beta \cdot x_2 \phantom{a}|\phantom{a} x_1,x_2 \in R  \} = \{ \beta(x_1+x_2) \phantom{a}|\phantom{a} x_1,x_2 \in R \} = (beta)

J\cdot J = (2)(\beta)= \{ 2\cdot x_1 + \beta \cdot x_2 \ \phantom{a}|\phantom{a} x_1,x_2 \in R\} = )= \{ 2\cdot x_1 + 2\cdot z \ \phantom{a}|\phantom{a} z \in J\} = \{ 2k \phantom{a}|\phantom{a} k \in R \} =(2)

Donc (2)=(beta) ce qui signifie que \beta vaut soit 2 soit -2.
Je vois bien que 2 ne peut pas générer par exemple l'élément  1+\sqrt{-7} donc (2) ne génère pas J mais j'aimerais rédiger ma preuve plus proprement, pourquoi 2 est spécial ?

Posté par
GBZM
re : Idéaux et isomorphisme 02-10-22 à 23:27

Bah bah bah. Tu ne sais pas ce qu'est un diviseur ???
Quels sont les éléments de \mathbb Z[\sqrt{-7}] qui divisent 2 ?
Je te suggère d'utiliser la norme  : la norme de {\alpha}=a+b\sqrt{-7} est la produit de {\alpha} par son conjugué, c'est l'entier N(\alpha)=a^2+7b^2. La norme est chouette parce qu'elle est multiplicative : N(\alpha)N(\beta)=N(\alpha\beta). Donc si \alpha divise 2, on doit avoir N(\alpha) qui divise N(2)=4.

Posté par
Vantin
re : Idéaux et isomorphisme 03-10-22 à 00:01

Si je sais ce que c'est, je dis simplement que je vais voir prochainement ces propriétés d'où l'indice j'imagine.
Si j'essaye de suivre ta piste,
Si J est principal alors \beta divise 2 et 1+\sqrt{-7}
Donc N(\beta) | (N(2) \wedge N(1+\sqrt{-7}))
Donc cela devrait diviser gcd(4,8)= 4
Donc N(\beta) = 1,2 ou 4.
Clairement l'option N(\beta)=2 est absurde.
Si N(\beta)=1 alors \beta est inversible donc J = R (?)
Si N(\beta) = 4 alors \beta = \pm 2 (?)

Posté par
GBZM
re : Idéaux et isomorphisme 03-10-22 à 06:58

a^2+7b^2=4 avec a et b entiers ?

Posté par
Vantin
re : Idéaux et isomorphisme 03-10-22 à 11:30

a = + ou - 2 et b=0.

Posté par
GBZM
re : Idéaux et isomorphisme 03-10-22 à 11:36

Conclusion ?

Posté par
Vantin
re : Idéaux et isomorphisme 03-10-22 à 18:33

Admettons b=+-2.
On rappelle que beta doit diviser 2 et 1+sqrt{-7}.
Mais 2 ne divise pas 1+sqrt{-7} donc absurde

Posté par
Vantin
re : Idéaux et isomorphisme 03-10-22 à 18:51

Pour en revenir à ce message

Rintaro @ 02-10-2022 à 15:11

Bonjour,

si J = (b), alors (2) = J² = (b)(b) = ... ? Donc 2 = ... ?

De plus, 2 est un élément spécial dans ton anneau R, vois-tu pourquoi ? En quoi cela contredit l'hypothèse ?

J = (b) = (2)
J=  (2,1+\sqrt{-7}) =(2)+(1+\sqrt{-7}) =(b)=(2)
Donc (1+\sqrt{-7}) = \emptyset, absurde. C'était ça la conclusion à laquelle tu voulais que j'aboutisse ?
Dans ce cas, je ne vois pas l'intérêt d'utiliser la propriété (a)=(b) implique que a=ub...

Posté par
Rintaro
re : Idéaux et isomorphisme 04-10-22 à 09:31

BonjourVantin, laissons de côté mon message pour l'instant, on y reviendra plus tard (je tentais de te faire démontrer la même chose que GBZM mais de façon détournée, l'argument de GBZM est plus direct).

Dans ton message de 18h33, on est d'accord que tu voulais écrire beta = +- 2 ? Par ailleurs, "admettons" me gêne, tu n'en es pas convaincu par le précédent raisonnement ? Et peux-tu justifier pourquoi 2 ne divise pas

\dfrac{1 + \sqrt{-7}}{2} ?

En tout cas, c'est bien le résultat voulu. Tu peux faire le lien avec la notion de pgcd et d'idéal principal. Je risque de ne plus être présent avant quelques jours.

Posté par
Rintaro
re : Idéaux et isomorphisme 04-10-22 à 09:32

Rintaro @ 04-10-2022 à 09:31

Et peux-tu justifier pourquoi 2 ne divise pas

1 + \sqrt{-7} ?

Posté par
Vantin
re : Idéaux et isomorphisme 04-10-22 à 09:50

Oui on est d'accord, si si j'en suis convaincu.
Le justifier ??
Je dirais
1+\sqrt{-7}=2\cdot (x+y\sqrt{-7}) implique que x = 1/2 ce qui est impossible dans R.
Ce qui me perturbe c'est l'indice, comment l'utiliser car j'arrive à la conclusions sans lui

Posté par
Rintaro
re : Idéaux et isomorphisme 06-10-22 à 14:00

Rebonjour,

ok pour la piste de GBZM si je n'ai rien loupé (il interviendra sûrement dans le cas contraire).

Je pense que tu t'es trompé dans tes notations et c'est pour ça que tu ne vois pas le lien avec l'indice.

\big( J = (\beta) \big) \Rightarrow (2) = J^2 = (\beta)(\beta) = ... ?

Avec l'indice, tu peux facilement montrer que ce raisonnement aboutit à "beta est inversible", ce qui va constituer la contradiction (pourquoi ?).

Posté par
Vantin
re : Idéaux et isomorphisme 07-10-22 à 10:45

Si beta est inversible alors il génère R et pas seulement (2,1+\sqrt{-7 }), absurde



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