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Idem ... exo sur les fonctions. HELP HELP HELP !!!
Soit f la fonction définie par :
f(x) = -4/(x²+1)
1 ) Démontrer que la fonction f est définie sur R.
2 ) Démontrer que la fonction f est paire.
3 ) Soit g la fonction définie sur Dg = [0;+l'infini[ par :
g(x) = -4/(x+1)
a ) Etudier les variations de g sur Dg (on les déduira de celles
de la fonction x -> 1/x).
b ) En remarquant que f(x) = g(x²) pour tout x appartenant à
[0; +l'infini[, utiliser le théorème de variation des fonctions
compsées pour montrer que la fonction f est croissante sur [0; +
l'infini[.
4 ) Déduire des questions précédentes le tableau de variation de f
sur R. La fonction f admet-elle un minorant sur R ? Un majorant ?
5 ) En déduire le nombre de solutions de l'équation f(x) = m suivant
les valeurs de m dans R.
1)
f(x) existe pour toutes les valeurs de x sauf celles qui annuleraient
(x²+1)
Mais x²+1 > 0 et donc jamais nul quelle que soit la valeur de x.
f(x) est donc définie sur R.
2)
f(-x) = -4/((-x)²+1) = -4/(x²+1) = f(x)
On a donc f(-x) : f(x)
f est donc paire.
3)
g(x) = -4/(x+1)
a)
(x+1) est une fonction croissante sur Dg
1/(x+1) est donc décroissante sur Dg
-4/(x+1) est donc croissante sur Dg
g(x) est donc croissante sur Dg
b)
g(x²) = -4/(x²+1) = f(x)
Pour x dans [0; oo], on a aussi x² dans [0 ; oo[
Donc comme g(x) est croissante sur [0 ; oo[ et que x² est dans [0 ; oo[
avec x dans [0 ; oo[, on a g(x²) est croissante sur [0 ; oo[
4)
f(x) est croissante sur [0 ; oo[
Comme f(x) est paire, f(x) est alors décroissante sur ]-oo ; 0[
Il y a donc un minimum de f(x) pour x = 0
Ce minimum vaut: f(0)= -4
f a -4 pour minorant.
D'après le tableau de variation de f(x), f(x) est max pour x->-oo ou pour
x -> +oo
lim(x-> +/- oo) f(x) = -4/oo = 0.
Et donc 0 est le minorant de f(x)
5)
f(x) = m
Si m < -4 ou si m > 0, il n'y a pas de solution.
Si m = -4 ou m = 0 , il y a 1 solution.
Si -4 < m < 0 , il y a 2 solutions.
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Sauf distraction.
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