Niveau Maths sup

Identifier tan(x)

Posté par
gui_tou 22-09-07 à 12:21

Bonjour à tous

Une petite question à vous soumettre :

J'ai un ensemble de solutions noté S tel que

Citation :
$5$S\, = \, \Big{ 0\; ; \; \sqrt{5-2\sqrt5} \; ; \;-\sqrt{5-2\sqrt5}\; ; \; \sqrt{5+2\sqrt5}\; ; \; -\sqrt{5+2\sqrt5} \Big}$

Cet ensemble de solutions s'écrit aussi :

Citation :
$5$S\, = \, \Big{ 0\; ; \; \tan({\frac{\pi}{5}) \; ; \;\tan({\frac{2\pi}{5})\; ; \; \tan({\frac{3\pi}{5})\; ; \; \tan({\frac{4\pi}{5})$ $5$\Big}$

Donc la question c'est

Citation :
Donner l'expression exacte de $4$\tan({\frac{\pi}{5})$ , $4$\cos({\frac{\pi}{5})$ , $4$\tan({\frac{\pi}{10})$

Comment montrer que $3$\tan({\frac{\pi}{5})=\sqrt{5-2\sqrt5}$ ?

En considérant que comme $\frac{\pi}{5}\, \in \]0,\frac{\pi}{2}[$ , j'ai le choix entre les 2 solutions positives, ie $\sqrt{5-2\sqrt5}$ et $\sqrt{5+2\sqrt5}$ , mais après ?

Merci à vous

Posté par re : Identifier tan(x) 22-09-07 à 12:26

Salut guitou

Tu sais calculer cos(pi/5) ?

Posté par re : Identifier tan(x) 22-09-07 à 12:28

Salut Kévin

Oui, mais il me faut d'abord tan(pi/5) non ?

_{Je dois y aller, je reviens ce soir, avec peut-être la répoonse}

Posté par re : Identifier tan(x) 22-09-07 à 12:31

Ah oui d'accord j'ai compris tu dois identifier chaque tangente à sa solution exacte dans S' ?

Je vais manger, A+

Posté par re : Identifier tan(x) 22-09-07 à 18:20

Je crois avoir trouvé !

Pour montrer que $\tan(\frac{\pi}{5})=\sqrt{5-2\sqrt5}$ , je me suis servi du fait que $\tan(\frac{\pi}{4})=1$ et que $\tan(\frac{\pi}{5})<\tan(\frac{\pi}{4})$

Donc comme $\sqrt{5-2\sqrt5} <1$ c'est bien $\magenta \tan(\frac{\pi}{5})=\sqrt{5-2\sqrt5}$

Ensuite pour calculer $\cos(\frac{\pi}{5})$ , je me suis servi de $1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$

Enfin pour $\tan(\frac{\pi}{10})$ j'ai utilisé la relation $\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ avec $t=\tan(\frac{x}{2}) \\$ . En prenant $x=\frac{\pi}{5}$ on arrive à quelque chose

Voilà Merci

Posté par re : Identifier tan(x) 22-09-07 à 18:25

salut à tous !

Par simple examen sur un cercle trigo et l'axe tangente, on a :

tan(3pi/5) < tan(4pi/5) < 0 < tan(pi/5) < tan(2pi/5)

A vérifier et à associer aux racines...