Annuler
connectez vous
arithmétique en post-bac
- Arithmétique dans Z - supérieur
- Exercice : le petit théorème de Fermat
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths spé ArithmétiqueTopics traitant de arithmétique [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau maths spé
Identité pour la fonction indicatrice d'Euler
Posté par Aguelord
Bonjour,
Voici la première question qui m'est posée dans un DM :
Soit On considère la fonction
qui a tout entier
fait correspondre le PGCD de
et
. Déterminer, pour chaque entier
de l'ensemble image de
, le nombre d'antécédents de
par la fonction
dans
.
Voici mon raisonnement : donc on cherche le nombre de
entre 0 et n-1 tels que
, et comme k est un entier entre 0 et n-1 équivaut à ce que
soit un entier (car q divise k en particulier) compris entre 0 et
, le cardinal de cet ensemble vaut le nombre recherché, soit
.
Déjà, est-ce que cela est juste ? j'ai l'impression que c'est un peu maladroit voire incorrect.
La question qui suit est la suivante :
En déduire l'identité
Je sais que les éléments d'ordre d (un diviseur de n) sont les générateurs du sous-groupe engendré par la classe de n/d dans le groupe Z/nZ, mais sinon je ne sais pas comment répondre à cette question.
Merci de votre aide !
aussi, k est un entier entre 0 et n-1 n'équivaut pas à ce que soit un entier, mais plutôt que k est un entier entre 0 et n-1 vérifiant que son PGCD avec n vaut q équivaut que
soit un entier vérifiant que son PGCD avec n/q vaut 1.
Ton raisonnement semble bon et je pense que tu as quasiment fini l'exercice, tu peux remarquer que n/q est un diviseur de n (tu pourra noter p = n/q) et qu'il y a n éléments dans [0, n-1] (donc réfléchi à la somme du nombre d'antécédent de ton application Pn pour tout q) ...
Redemande si je n'ai pas été clair
je pense avoir compris, on se retrouve a calculer une somme des PGCD égaux à 1 soit la somme des 1 entre 0 et n-1, ce qui donne n, merci de ton aide.