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identité trigonométrique

Posté par
pppa 14-02-24 à 22:21

Bonjour

Libellé de l'exercice :

Soient a, b, c, d, e, f six nombres réels

Quelles sont les conditions à vérifier pour que l'on ait l'identité en x suivante

a.sin^{2} x + b.sin x.cos x + c.cos^{2} x+ d.cos x + e.sin x + f = 0

J'ai fait un test avec a = c = 1 ; b = 2 pour avoir ( sin x + cos x )^{2} et d = e pour pouvoir mettre   ( sin x + cos x ) en facteur commun, et en faisant passer f qui devient -f dans le second membre.

Je pense qu'il serait bon de transformer cette somme en produit, mais je ne vois pas quelle méthode judicieuse pourrait répondre à la question. Pourriez-vous m'aider à trouver la bonne méthode svp ?  Merci par avance.

Posté par
lakere : identité trigonométrique 14-02-24 à 23:00

Bonsoir,
En posant X=\sin\,x et Y=\cos\,x il me semble voir l'équation d'une conique.
M(X,Y) parcourt le cercle unité lorsque x varie et la conique en question passe par tout point du cercle unité.
Autrement dit elle s'identifie au cercle unité.
A quelles conditions sur a,b,c,d,e,f ?

Posté par
lakere : identité trigonométrique 14-02-24 à 23:12

... en mettant à part le cas trivial où tous les coefficients sont nuls

Posté par
pppare : identité trigonométrique 14-02-24 à 23:34

Bonsoir Lake,

Merci pour ta réponse. Effectivement c'est la bonne piste.
J'ai eu un moment cette impression de formule de conique, mais j'avais gardé en tête une formule qui - après transformation par changement de repère - fait disparaître le deuxième terme du premier membre. Mais tu as raison, la formule initiale des équations de coniques correspond, aux deux changements de variables près, au premier membre de l'identité à étudier.
Il me reste donc à étudier - je pense - sous quelles conditions une conique est une ellipse, et cette dernière un cercle.

Ce que je reporte à demain, vu l'heure avancée de la soirée.

A très bientôt j'espère, je te souhaite une bonne fin de soirée.

Posté par
lakere : identité trigonométrique 15-02-24 à 00:36

Le cercle unité, il n'y en a pas 36. (et c'est une conique).
Ses équations sont de la forme aX^2 +aY^2-a=0 avec a réel non nul.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : identité trigonométrique 15-02-24 à 08:40

Bonjour,
Je me permets une intervention naïve :
Remplacer x par des valeurs genre 0, , /2 ne permet-il pas de faire avancer le schmilblick ?

Posté par
lakere : identité trigonométrique 15-02-24 à 11:11

Bonjour Sylvieg,
C'est ce que je pensais proposer si ça continuait à coincer
Au moins 5 équations

Posté par
pppare : identité trigonométrique 15-02-24 à 22:21

Bonsoir Pierre, bonsoir Sylvie

Je n'ai pas eu le temps de reprendre sérieusement le sujet, mais je n'abandonne pas, soyez en sûrs, et les informations supplémentaires que vous m'avez données devraient me permettre d'aboutir, demain je pense, du moins j'espère.

Je vous souhaite une bonne soirée et vous dis à très bientôt

Philippe

Posté par
pppare : identité trigonométrique 15-02-24 à 22:52

Hello

En fait, puisque j'ai ouvert la page de ce sujet, j'ai essayé d'avancer ce soir sur le sujet.

Par identification de l'équation à celle du cercle unité, les conditions à remplir seraient :  b = d = e = 0  ET  a = c = -f.

L'idée de l'attribution de valeurs connues à x, proposée par Sylvie, m'a permis d'établir  d = e = 0  ( ayant posé  x = \pi, je pense qu'il est inutile de poser  x =- \pi ). J'ai testé également x = -\frac{\pi}{4}, mais ça n'établit pas que b = 0.

Qu'en pensez-vous ? Merci

Posté par
lakere : identité trigonométrique 16-02-24 à 00:43

Citation :
Par identification de l'équation à celle du cercle unité, les conditions à remplir seraient :  b = d = e = 0  ET  a = c = -f.

Tout à fait

Il me semble qu'avec x=\pm\dfrac{\pi}{4} , on obtient deux équations dont on déduit b=0 (une fois qu'il est établi que d=e=0)
Bonne nuit Philippe

Posté par
Sylvieg Moderateurre : identité trigonométrique 16-02-24 à 08:33

Bonjour pppa,

Citation :
je pense qu'il est inutile de poser x =- \pi
Oui, car - et donnent des valeurs identiques à sinus et cosinus.
Tu n'as pas cité /2 et -/2. Je pense que tu les as utilisés.

Et que trouves-tu finalement ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : identité trigonométrique 16-02-24 à 08:35

Citation :
les conditions à remplir seraient : b = d = e = 0 ET a = c = -f.
Vu

Posté par
pppare : identité trigonométrique 16-02-24 à 17:05

Bonjour Pierre, bonjour Sylvie

un grand merci pour vos aides respectives.

>>  Lake : quand j'ai posé les équations  avec x = \frac{\pi}{4} et x = -\frac{\pi}{4}, je n'avais pas repris les résultats acquis auparavant qui m'avaient permis d'établir  d = e = 0 ; j'aurais pu, j'aurais dû même, mais imaginons que j'aurais commencé à remplacer x par ces valeurs de la variable..... Ce qui me permet de répondre à :

>> Sylvie : oui, bien sûr que j'ai posé les équations avec  x = \frac{\pi}{2} et x = -\frac{\pi}{2}

Merci encore à vous deux, et bon week-end

Posté par
Sylvieg Moderateurre : identité trigonométrique 16-02-24 à 17:06

De rien, et bon week-end à toi aussi


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