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Niveau Licence Maths 1e ann
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Idmpotent

Posté par
siezagaston
15-04-19 à 17:50

Bonsoir
Soit (E,*) un ensemble muni d'une l.c.i.
Un élément de xE est dit idempotent si x*x=x.
Montre que si * est associative et si x et y son idempotent et commutent alors x*y sont idempotent.
Voilà comment j ai procédé

Montrons que x*y*x*y=x*y
Comment la loi est commutative
On a: x*x*y*y*=x*x*y*y
                               =(x*x)*(y*y) car * est associative
                                =x*y car x et y son idempotent .

Posté par
Sylvieg
re : Idmpotent 15-04-19 à 18:13

Bonjour,
l.c.i. ? Je suppose loi de composition interne.
La loi n'est pas commutative. Mais on suppose que  x  et  y  sont deux éléments de  E  qui commutent.
C'est à dire  x*y = y*x .

Démonstration  de  x*y  idempotent avec plus de détails :
(x*y)*(x*y) = x*(y*x)*y  car la loi est associative.
x*(y*x)*y  =  x*(x*y)*y  car  x*y = y*x .
x*(x*y)*y  =  (x*x)*(y*y)  car la loi est associative.
Dernière ligne identique.

Posté par
siezagaston
re : Idmpotent 15-04-19 à 18:26

Sylvieg
mais l'énoncé de exercice suppose que * est commutative .

Posté par
Sylvieg
re : Idmpotent 15-04-19 à 18:31

Non, l'énoncé suppose "x et y son idempotent et commutent".
Ce qui signifie que x  et  y  sont deux éléments de  E  qui vérifient  x*y = y*x .
Alors que  *  est commutative signifie :
Pour tout  x  et  y  dans  E  on a  x*y = y*x .

Posté par
Sylvieg
re : Idmpotent 15-04-19 à 18:33

"x et y sont idempotents et commutent"

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