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Niveau Maths sup
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il me semble que ces exos sont liés

Posté par margotte (invité) 16-10-04 à 09:27

Bonsoir, pouvez vous m'aidez à résoudre cet exercice je ne souhaite pas des réponses immédiate à toutes les questions, mais des aides qui m'éclaireraient petit à petit car je suis perdue (les deux exos que j'ai posté précédemment me semble lier)...
On considère la suite de polynomes (Tn) définie par:
T0(x)=1, T1(x)=X
quelquesoit n appartenant à N*, Tn+1(X)=2XTn(X)-Tn-1(X)
1)Montrer que :
quelquesoit µ £ R, Tn(cos µ)=cos(nµ)
2)Montrer que Tn est l'unique polynome P vérifint: quelquesoit µ £ R, P(cos µ)=cos(nµ)
3) Calculer T2,T3,T4.
4) Quel est le monome dominant de Tn?
5) Quelles sont les racines de Tn?
6) soit n £ N, avec Tn(x)=a0+a1X+...+anX^n et k un entier de [0,n], montrer que ak=0 si,et seulement si, k et n ne sont pas de meme parité.

Merci

Posté par houssa (invité)re : il me semble que ces exos sont liés 16-10-04 à 16:53

Salut,

Ultra simplissime !!
Non, je rigole, j'ai passé un peu de temps pour la premiere question.
Tu fais une récurrence à 2 pas puis tu utilise les formules trigo :

Si ca ne te derange pas, je vais posé y=

Pour n=0
T0(cos(y))=1
Donc c'est vrai pour n=0

Pour n=1
T1(cos(y))=cos(y)
Donc c'est vrai pour n=1

Soit n. Supposons Tn(y)=cos(ny) et Tn+1=cos((n+1)y)

Alors :
Tn+2(cos(y))=2cos(y)*Tn+1(cos(y))-Tn(cos(y))
Tn+2(cos(y))=2cos(y)cos((n+1)y)-(cos(ny)

En utilisant les formules trigo d'addition :
2cos(a)cos(b)=cos(a+b)+cos(a-b)

Alors, il vient :
Tn+2(cos(y))=cos((n+2)y)+cos(ny)-cos(ny)
Tn+2(cos(y))=cos((n+2)y)

Donc la prop est vraie pour tout entier naturel n.

Voili voilou.
Je ne me suis pas encore penché sur les autres question, mais peut-etre que celle la t'aidera pour les autres. Je viendrais voir si tu as un probleme

Bonnne chance

Posté par margotte (invité)merci! 16-10-04 à 18:52

Coucou!
merci bcp de m'avoir aidé, car j'étais complètement bloqué, j'ai trouvé quelques aides sur internet car il parait que ce sont des polynomes de tchebycheff un truc comme ca mais je ne comprends pas tout.
pour la 2 je bloque toujours, ensuite pour la 3) je trouve :T0 = 1

T1 = X

T2 = 2X2 -1

T3 = 4X3 -3X

T4 = 8X4 - 8X2 + 1

T5 = 16X5 -20X3 + 5X

T6 = 32X6 -48X4 +18X2 -1

sauf que je ne comprends pas comment ca a été calculé.
j'ai aussi réfléchi à la 4 et la 5 mais j'ai vraiment besoin d'un coup de pouce, j'ai l'impression d'avoir trop du mal avec les polynomes. Pour la 6) j'y ai pas réfléchi mais ca me semble assez dur on verra plus tard déjà il faut que je progresse sur les questions d'avant.
Encore merci beaucoup



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