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il parait que c est simple mais je trouve ça comliqué!

Posté par sofia (invité) 03-09-04 à 09:09

bonjour,
Quelqu'un pourait il m'expliquer les problèmes suivants:

Un jeu se joue à deux sur une grille carrée de 64 cases. Chaque joueur commence par disposer 4 pions noirs et 12 pions blancs sur les deux premières rangées d'un coté.
La question est: quel est le nombre de dispositions possibles de ses pions entre 182, 252, 64, 48
La réponse est 64 , cependant je n'arrive pas à comprendre pourquoi.

j'ai le même souci avec le problème suivant:
un avion peut transporter 350 passagers. Pour un vol donné dont le coût était de 14800 euro , deux tarifs étaient proposés : le tarif normal à 50 euro, et le tarif avec annulation possible, 20% plus cher. Le coût a été exactement couvert avec un remplissage à 80% de l'appareil. Quel fut le nombre de sièges payés avec le tarif annulation? 28, 56, 70, 80
La réponse est de 80 mais je ne comprends pas pourquoi.

Posté par
Belge-FDLE
re : il parait que c est simple mais je trouve ça comliqué! 03-09-04 à 10:18

Salut Sofia,

Personnellement, pour le premier exercice je trouve 1820 dispositions possibles :S.
En même temps, c'est la rentrée, donc je suis pas vraiment encore très chaud , et je peux me tromper.

Voià, comment je suis arriver à ma conclusion :

On a 16 pions, dont 4 sont blancs et 12 sont noirs, à placer sur 16 cases. Pour moi, ce nombre de dispositions correspond au nombre de combinaisons possibles de 4 éléments (ou 12, c'est pareil par "symétrie") parmis 16 (4 pions blancs parmis 16 cases, les pions noirs occupant les places restantes ou l'inverse).
On sait que la formule pour calculer e nombre de combinaison possibles de p éléments parmis n éléments est la suivante :

\rm~\big(_p^n\big)~=~\frac{n!}{(n-p)!\times~p!}


Il ne reste plus qu'à appliquer cette formule à notre cas. On a :

\rm~\big(_4^{16}\big)~=~\frac{16!}{(16-4)!\times~4!}
\rm~\big(_4^{16}\big)~=~\frac{16!}{12!\times~4!}
\rm~\big(_4^{16}\big)~=~\frac{16\times15\times14\times13}{4\times3\times2}
\rm~\big(_4^{16}\big)~=~2\times5\times14\times13
\rm~\big(_4^{16}\big)~=~1820

Ce qui nous donne donc 1820 dispositions des pions.
Qu'est-ce que vous en pensez ?
Sinon, pour obtenir 64, je vois vraiment pas comment on peut faire.

Voilà si tu as des questions surtout n'hésite pas .

À +

Posté par
Belge-FDLE
et on enchaine sur le 2) 03-09-04 à 10:40

Re-Salut Sofia ,

Pour le second exercice, voilà commet j'ai procédé :

*On nous dit que l'avion de 350 passager était à 80% plein, ce qui veut dire qu'il y avait :
\rm~350\times\frac{80}{100}~=~350\times\frac{4}{5}~=~280~passagers

*On nous dit aussi qu'il existe 2 tarifs : l'un à 50 euros, l'autre (avec annulation possible) 20% plus cher, c'est-à-dire de 60 euros.
*On sait que les passagers dans l'avion ont payé en tout 14800 euros.

En posant x le nombre de voyageurs au tarif de 50 euros, et en posant y le nombre de voyageurs au tarifs de 60 euros, on obtient le système suivant :

\rm~\{{x+y~=~280\atop50~x~+~60~y~=14800}\

\rm~\{{x~=~280-y\atop50\times~(280-y)~+~60~y~=14800}\

\rm~\{{x~=~280-y\atop14000-50~y~+~60~y~=14800}\

\rm~\{{x~=~280-y\atop14000+10~y~=14800}\

\rm~\{{x~=~280-y\atop~y~=~\frac{800}{10}}\

\rm~\{{x~=~280-80\atop~y~=~80}\

\rm~\{{x~=~200\atop~y~=~80}\

Finalement, on voit bien qu'il y a 200 passagers qui ont pris le tarif à 50 euros, et 80 qui ont pris le tarif avec annulation possible .

Voilà, j'espère avoir pu t'aider

À +

Posté par sofia (invité)je suis vraiment désolée 03-09-04 à 10:42

excusez moi j'ai fait une petite (grosse) erreur
la réponse n'était pas de 64 mais de 182.
De plus, je n'arrive pas à comprendre la formule donnée dans la réponse; c'est surtout le fait qu'il y ait des ! qui me bloque. est il possible de me réexpliquer la réponse de manière plus simple?
merci beaucoup.

Posté par
Belge-FDLE
re : il parait que c est simple mais je trouve ça comliqué! 03-09-04 à 10:59

En fait Sofia, pour pouvoir t'expliquer ceci, il faudrait que je connaisse ta classe .
Car j'ai résolu le premier exercice en utilisant des notions du Dénombrement, chapitre que l'on voit en Terminale .

En fait, le signe n!, qui se dit factorielle de n, est égale à :

\rm~n!~=~n\times(n-1)\times(n-2)\times...\times2\times1

Par exemple pour 4!, on a :
\rm~4!~=~4\times3\times2\times1~=~24

Pour 16!, on a :
\rm~16!~=~16\times15\times14\times13\times...\times3\times2\times1~=~20922789888000

Évidemment, les nombres deviennent très vite gigantesques, mais l'on a pas forcément besoin de passer par ces nombre embêtant.

Par exemple, si on a :
\rm~\frac{123!}{120!}

On ne vas pas s'amuser à calculer 120! et 123! . Il suffit de remarquer l'astuce suivante :

\rm~123!=123\times122\times121\times(120\times119\times118\times...\times3\times2\times1)
et
\rm~120!=(120\times119\times118\...\times3\times2\times1)

On remarque ici facilement que l'on peut "barrer" au dénominateur et au numérateur tout le "120x119x118x117x...x3x2x1". On voit alors simplement que :

\rm~\frac{123!}{120!}~=~123\times122\times121~=~1815726


Voilà, si tu as encore des questions, je suis là pour ça .

À +

Posté par
Belge-FDLE
re : il parait que c est simple mais je trouve ça comliqué! 03-09-04 à 11:01

Et si la réponse donnée est en fait 182, ça veut peut être dire que mon résultat de 1820 est juste et que le livre où tu as trouvé cet exercice, a fait une faute de frappe en oubliant un "0" à la fin du "182".

Bref, ça me rassure

Posté par sofia (invité)je crois que tu as raison 03-09-04 à 12:01

le résultat doit être de 1820 car les possibilités sont toutes mises dans l'ordre décroissant mis à part 182 qui est avant un nombre plus grand que lui.

Sinon, je voulais savoir si pour un problème du style du second, il y avait une méthode pour pouvoir aborder plus facilement les choses?

Dans tous les cas je te remercie pour ce grand service que tu m'as rendu
a+

Posté par sofia (invité)encore une petite question 03-09-04 à 12:19

je suis désolée mais maintenant j'arrive bien à comprendre la formule dans le premier problème mais je ne comprends pas pourquoi tu l'a remplacée pas ces nombres là.est il possible de me le réexpliquer de manière plus détaillée?
merci beaucoup

Posté par
Belge-FDLE
re : il parait que c est simple mais je trouve ça comliqué! 03-09-04 à 12:46

Re-Salut,

Alors, pour un exercice dans le style du second, je ne pense pas qu'il y ait de méthode plus facile pour aborder les choses à moins comme c'est ici le cas que l'on te donne un QCM (mais c'est rare).

Tu peux alors essayer chaque réponse pour voir si tu obtiens un résultat cohérent. Par exemple :

Prenons 28, pour commencer, s'il y a 28 passagers qui ont payé le tarif+annulation possible de 60 euros, ils ont payé à eux tous :
\rm~28\times60~=~1680~euros
Des 14800 euros, il reste alors 13120 euros (14800-1680).
13120/50=262,4
Il y aurait donc eu 262,4 passagers qui auraient pris le tarif à 50 euros, ce qui est évidemment absurde (il faut un résultat entier).

Et voilà, tu procèdes de la même façon pour les autres propositions de réponses et tu vois que la seule qui convient est 80.

À +

Posté par
Belge-FDLE
re : il parait que c est simple mais je trouve ça comliqué! 03-09-04 à 13:00

Alors, pour la deuxième question maintenant.

Voici la formule pour calculer le nombres possible de combinaisons de p objets parmis n objets :

\rm~\big(_p^n\big)~=~\frac{n!}{(n-p)!p!}

On a 4 pions blancs que l'on doit placer sur les 16 cases (les 12 pions noirs sont alors placés aux endroits restant).
Donc, ici le nombre de dispositions possibles des 16 pions correspond bien au nombre possible de combinaisons de 4 pions parmis 16 cases.

C'est donc 4 qui prend la place de "p" dans la formule ci-dessus, et 16 qui prend celle de "n". On obtient donc la formule suivante :

\rm~\big(_4^{16}\big)~=~\frac{16!}{(16-4)!\times4!}
\rm~\big(_4^{16}\big)~=~\frac{16!}{12!\times4!}


On aurait pu aussi faire pareil, mais avec les 12 pions noirs en disant que le nombre de dispositions possibles correspond au nombre de combinaisons de ces 12 pions noirs parmis les 16 cases (les pions bancs prenant alors les cases restantes) : on aboutit au même résultat . En voici la preuve :

\rm~\big(_{12}^{16}\big)~=~\frac{16!}{(16-12)!\times12!}
\rm~\big(_{12}^{16}\big)~=~\frac{16!}{4!\times12!}
\rm~\big(_{12}^{16}\big)~=~\rm~\big(_4^{16}\big)

Voilà, si tu as encore des questions, pas de problèmes.

À +

PS: Par contre, je risque d'être plus long à répondre, rentrée obligeant

Posté par Sofia (invité)re : il parait que c est simple mais je trouve ça comliqué! 03-09-04 à 13:41

en fait ce que je ne comprends pas dans la formule c'est cette partie là: 16*15*14*13/4*3*2 pourquoi n'y mettre que ces nombres et s'arrêter à 13 et à 2?

Posté par
Belge-FDLE
re : il parait que c est simple mais je trouve ça comliqué! 03-09-04 à 17:05

Re-Salut Sofia ,

alors après ma rentrée, me revoici pour t'aider du mieux que je le peux ,

Pour ton dernier problème, je pense qu'il est dû au fait que j'ai trop vite simplifié la fraction. Je reprend la même formule, mais en détaillant bien plus.

C'est parti :

\rm~\big(_4^{16}\big)~=~\frac{16!}{(16-4)!\times4!}
\rm~\big(_4^{16}\big)~=~\frac{16!}{12!\times4!}
\rm~\big(_4^{16}\big)~=~\frac{16\times15\times14\times13\times(12\times11\times10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1)}{(12\times11\times10\times9\times8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1)\times4!}

On simplifie pour obtenir :

\rm~\big(_4^{16}\big)~=~\frac{16\times15\times14\times13}{4!}
\rm~\big(_4^{16}\big)~=~\frac{16\times15\times14\times13}{4\times3\times2\times1}
\rm~\big(_4^{16}\big)~=~\frac{16\times15\times14\times13}{4\times3\times2}
\rm~\big(_4^{16}\big)~=~2\times5\times14\times13
\rm~\big(_4^{16}\big)~=~1820

Voilà, j'espère que c'est plus clair maintenant .

À +

Posté par Sofia (invité)re : il parait que c est simple mais je trouve ça comliqué! 03-09-04 à 18:15

merci maintenant j'ai tout compris , en plus je viens de remarquer qu'il y avait un bouton spécial sur la calculatrice qui simplifie les calculs.
Merci encore.



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