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Im f et kerf supplémentaires?
Bonjour tout le monde,
Je bloque...
Soit E un IK ev de dimension finie, et f un endomorphisme.
On se pose la question de savoir si kerf et imf sont supplémentaires.
a) Montrer que si ker f admet un supplémentaire H stable par f (i.e f(H) est inclus dans H) alors H = Im f
Voilà ce que j'ai trouvé.
On cherche à prouver que:
si il existe !(u,v) appartenant à kerf * H tel que u+v= x apartenant à E, et si f(H) est inclus dans H
alors H= Im f
Im f= {y appartient à E | il existe x appartenant à E , f(x)=y }
i.e f(x)= f(u+v)= f(u) + f(v)
or par définition, f(u)= 0
donc f(u+v) = f(v)
Donc Imf est inclus dans f(H) est inclus dans H
Il me semble que c'est correct. Par contre je ne sais pas du tout comment prouver l'autre sens de l'égalité. Est ce que je peux raisonner sur les dimensions? Je ne sais pas si je peux dire quoi que ce soit sur les dimensions à partir du fait que f est un endomorphisme.
Est-ce que je peux dire que dim H = dim f(H) ? Ca m'arrangerait. Mais je suis parti du principe que H est inclus dans E. Est-ce que c'est le cas et pourquoi?
Donc en partant de cet hypothése (H inclus dans E)
H inclus dans E donc f(H) inclus dans im f
donc f(H)= im f
donc dim H= dim f(H) = dim imf
donc finalement H= Im f
Non tu ne peux pas écrire que dim H = dim f(H) mais tu peux écrire que
* dim(Ker f) + dim(Im f) = dim(E) (vrai pour tout endomorphisme)
* dim(Ker f) + dim(H) = dim(E) (H et Ker f sont supplémentaires)
ok donc
dim imf= dim H
et donc on conclue imf= H
Par contre je ne connais pas cette propriété des endomorphismes
dim(Ker f) + dim(Im f) = dim(E) (vrai pour tout endomorphisme)
Est-ce qu'il y a moyen de faire autrement, avec des propriétés que je connais, ou est-ce que quelqu'un pourrait me démontrer cette propriété?
En fait c'est plutôt la deuxième propriété qui me pose problème
dim(Ker f) + dim(H) = dim(E) (H et Ker f sont supplémentaires)
Ok désolé, j'ai retrouvé la dîte propriété. Mais mon prof ne nous l'a pas démontrée. Du coup j'ai du mal à intégrer... Je n'aime pas utiliser des propriétés dont je ne sais pas d'où elles viennent.
Je continue.
b) Prouver un résultat analogue pour im f
j'ai supposé que je devais démontrer que s'il existe
!(u,v)
imf*H et f(H) inclus dans H
alors H = Kerf
Est ce que c'est ce que je dois montrer?
Voui.
On te demande en fait de "voir" que
si Imf admet un supplementaire H stable par f, alors H = Ker f.
Et ensuite de le montrer...
biondo
Bon bein je m'y lance, mais c'est pas gagné. J'ai essayé hier, et je ne voyais pas trop comment partir. Enfin maintenant que je suis sûr de partir dans la bonne direction, je vais pouvoir mobiliser toutes mes maigres ressources 
bon, j'arrive à prouver que dim H = dim kerf.
Pas si mal. Il me reste à prouver que kerf est inclus dans H.
Je ne sais pas trop comment m'y prendre.
Je me dis que
H ss-ev de E, donc le 0 de H appartient à kerf. Mais après...
Je crois que j'ai trouvé. Je rédige.
Imf= {y appartient à E | il existe x appartient à E, f(x)=y}
D'après les hypothèses de départ, il existe !(y,v)imf*H tel que y+ v = z E (ensemble d'arrivée)
f(x) + v = z
zut! Je pensais dire que puisque la décomposition est unique, v=0 car f(x) appartient à l'espace d'arrivée. Et donc que H est inclus dans kerf.
Mais ça me paraît boiteux finalement.
Ok pour la dimension.
Ensuite il suffit de montrer une inclusion de l'un dans l'autre, et la dimension permettra de conclure:
Soit x un element de H. montrons que f(x) = 0.
f(x) appartient à Im f. (facile)
Comme x appartient à H et que H est stable par f, f(x) appartient à H.
Or H et Im f sont en somme directe, leur intersection est réduite à 0, et f(x) appartient à cette intersection: f(x) = 0, donc H inclus dans Kerf.
C'est gagné!
A+
biondo
Super! Je continue ce soir. Il me reste 3 questions pour arriver à savoir si kerf et imf sont supplémentaires.
La prochaine étape est
c) Prouvez que kerf inter imf = {0} ssi kerf= ker(f^2)
Pour l'instant j'ai pas trop d'idées. Ca va venir
Je n'y arrive pas. J'ai prouvé que kerf est inclus dans ker f^2, mais je ne trouve pas du tout l'autre sens.
Me revoila.
Effectivement, Kerf est inclus dans Kerf^2. Pour cela, pas besoin de grand-chose, c'est vrai pour tout endomorphisme.
Allons-y.
implication directe. On suppose Ker f et Imf d'intersection reduite a zero.
On veut montrer Kerf^2 inclus dans Kerf.
Toujours pareil. SOit x dans Kerf^2. f(f(x)) = 0
QUe dire alors de f(x)? (a quels sev appartient-il?)
je te laisse faire.
Implication reciproque.
Supposons Ker f = Kerf^2
Montrons que Imf et Ker f d'intersection reduite a zero:
soit x un element de Kerf inter Imf.
f(x) = 0
il existe un y tel que x = f(y)
QUe dire de f(f(y))???
Et donc en utilisant l'hypothese, a quel sev appartient y.
Donc??
Allez, courage!
C'est juste de la manipulation de proprietes...
A+
biondo
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