Bonjour tout le monde!
   j'ai un exercice dont je comprends pas la solution, voilà l'exercice:montrer ce théorème:

" (xn) une suite r´eelle convergente, de limite l. Pour toute fonction
f de R dans R continue en l et telle que {xn | n ∈ N} ⊂ Df , la suite (f(xn)) converge vers f(l).
R´eciproquement, si pour toute suite r´eelle (xn) convergente vers l ∈ Df et telle que {xn |
n ∈ N} ⊂ Df , la suite (f(xn)) converge alors f est continue au point l."

j'ai pas compris la dém de " réciproquement" voila ce qu'ils ont fait : (par contraposée)

Supposons maintenant que f ne soit pas continue au point l ∈ Df . Il existe ε > 0 tel que
pour tout η > 0, il existe x ∈ Df tel que | f(x) − f(l) |≥ ε. Soit yn ∈ Df , n ∈ N*
, tel que
| yn − l |< 1/n et | f(yn) − f(l) |> ε. Consid´erons la suite (xn)) de points de Df d´efinie par
x2n = l et x2n+1 = yn. Comme la suite (yn) converge vers l, il en est de mˆeme pour la suite
(xn). En revanche, la suite (f(xn)) est divergente car | f(x2n+1 − f(x2n)
|=| f(yn) − f(l) |> ε.

ce que j'ai fait au papier (avec contraposée) est comme suit:
f est discontinue en l alors: ∃ε > 0 , ∀η > 0,∃x∈ Df: | x − l |< η et | f(x) − f(l) |≥ ε
on prend η=1/n et on considère une  suite(Xn) d'éléments dans Df on a alors:
∃ε > 0 , ∀n > 0,∃Xn∈ Df: | Xn − l |< 1/n et | f(Xn) − f(l) |≥ ε on aura bien alors l'existence d'une suite (Xn) d'éléments dans Df tel que: (Xn) converge vers l(car ∀n > 0    | Xn − l |< 1/n) et f(Xn) ne converge pas vers f(l).
je sens que mon travail a besoin de qqch mais je l'ignore, pouvez vous m'aider svp[vert][/vert]