Niveau Licence-pas de math

Image des intersections égale à l'intersection des images

Posté par
Dien 16-05-20 à 17:29

Bonjour,
Je dois démontrer si oui ou non $\forall f: A \mapsto B, \forall A_{1},A_{2} \subseteq A, f(A_{1} \cap A_{2}) = f(A_{1}) \cap f(A_{2})$ avec un contre-exemple d'une fonction qui n'a pas cette propriété.
Pourrais-je avoir de l'aide sur la façon de démontrer cette fonction ?
Merci pour votre aide.

Posté par re : Image des intersections égale à l'intersection des images 16-05-20 à 17:39

Bonsoir Dien,

tente de démontrer cette égalité, tu verras clairement le point qui cloche, et après il y a une flopée de contre-exemples ! Tu peux même montrer que cette égalité est vraie si et seulement si la fonction f respecte une condition que tu peux deviner en tentant de faire la démo.

Posté par re : Image des intersections égale à l'intersection des images 16-05-20 à 20:49

Bonsoir,
pour préciser le message de Kernelpanic.
il y a une méthode fréquemment utilisée pour montrer que deux ensembles sont égaux : la double inclusion.
Pour montrer que X=Y on montre que XY puis que YX.

Dans le cas $f(A_{1} \cap A_{2}) = f(A_{1}) \cap f(A_{2})$ il y a une inclusion qui est vraie et facile à prouver : $f(A_{1} \cap A_{2}) \subset f(A_{1}) \cap f(A_{2})$ .

L'autre inclusion est fausse en général mais, comme le suggèreKernelpanic, on peut trouver assez facilement une condition suffisante sur f pour qu'elle soit vraie.

_{PS : en fait la condition est aussi nécessaire, mais tu n'as pas besoin de le démontrer dans le cadre de cet exercice.

En fait tu n'as même pas besoin de démontrer qu'elle est suffisante.}

Posté par re : Image des intersections égale à l'intersection des images 16-05-20 à 23:40

Bonsoir verdurin, merci de m'épauler avec la pédagogie que je n'ai pas, je ne me rends jamais compte de la clarté de mes messages ; le tien est beaucoup plus instructif que le mien. Je te laisse poursuivre avec Dien quand il reviendra !

Bonne soirée/journée à vous deux

Posté par re : Image des intersections égale à l'intersection des images 17-05-20 à 04:22

verdurin @ 16-05-2020 à 20:49

L'autre inclusion est fausse en général mais, comme le suggèreKernelpanic, on peut trouver assez facilement une condition suffisante sur f pour qu'elle soit vraie.

La condition serait-elle que que $f$ doit être une bijection ?

Posté par re : Image des intersections égale à l'intersection des images 17-05-20 à 06:25

Ou bijective plutôt.

Posté par re : Image des intersections égale à l'intersection des images 17-05-20 à 07:15

Au final voici ma démonstration :
Pour que f(A₁∩A₂)=f(A₁)∩f(A₂), il faut que f(A₁∩A₂)⊂f(A₁)∩f(A₂) & f(A₁∩A₂)⊃f(A₁)∩f(A₂) (principe de la double inclusion).
⊂ : y∈f(A₁∩A₂)⟺∃x∈(A₁∩A₂ ),y=f(x)⟹[(∃x∈A₁,y=f(x))∧(∃x∈A₁,y=f(x))]. De plus, si x∈A₁ alors f(x)∈f(A₁ ), si x∈A₂ alors f(x)∈f(A₂ ),et si x∈(A₁∩A₂ ) alors f(x)∈f(A₁∩A₂ ). Donc f(x)∈f(A₁)∧f(x)∈f(A₂). Par conséquent, tout élément f(x) de f(A₁∩A₂ ) est inclus dans f(A₁) ET inclus dans f(A₂). Donc y∈f(A₁)∩f(A₂ ). Ainsi f(A₁∩A₂ )⊂f(A₁)∩f(A₂ ).
⊃ : y∈f(A₁)∩f(A₂ ). Comme y∈f(A₁ ),∃x∈A₁ tel que y=f(x). Comme y∈f(A₂ ),∃x'∈A₂ tel que y=f(x'). Or rien n'assure que c'est le même que celui dans A₁, ni même qu'un x' à la fois dans A₁ et dans A₂ existe.
Posons E={0,1},f:E→E défini par f(0)=f(1)=0. On prend A₁={0} & A₂={1}. f(A₁)∩f(A₂ )={0}∩{0}={0} mais f(A₁∩A₂ )=f(∅)=∅.
On ne peut donc pas dire que f(A₁∩A₂ )=f(A₁)∩f(A₂ ) est vrai sauf si f est injective.

Qu'en pensez-vous ?