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Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss

Posté par
Tadano 13-03-16 à 19:10

Bonjour,

Je me posais une question et j'aimerais avoir votre avis sur la question.

Ce qu'on sait et que l'on pose:
• On peut trouver une base de l'image d'une matrice A en réalisant des opération sur les colonnes pour l'échelonner en colonnes.
Notons E_c cette forme échelonnée.

• On peut trouver une base du noyau d'une matrice A en réalisant des opération sur les lignes pour l'échelonner en lignes.
Notons E_l cette forme échelonnée.

Ma question:
Est-il possible de trouver une base du noyau facilement à partir de E_c ?
Et respectivement. Est-il possible de trouver une base de l'image à partir de E_l ?

Exemple:
Considérons la matrice suivante:
A=\begin{pmatrix}1 & 3  & -1\\2 & 0 & 4\\1 & -2 & 4\end{pmatrix}

En échelonnant en colonnes on obtient:
E_c=\begin{pmatrix}1 & 5  & 0\\2 & 4 & 0\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}
On en déduit que: Im(A)=Vect(\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} ,  \begin{pmatrix}5\\4\\0\end{pmatrix})

En échelonnant en lignes on obtient:
E_l=\begin{pmatrix}2 & 0 & 4\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}
On en déduit que: Ker(A)=Vect(\begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix})

Comment dans ce cas de figure, trouver une base de Im(A) à partir de E_l et une base de Ker(A) à partir de E_c ?

Intérêt de la question:
Cela permettrait donc, pour trouver une base de l'image et une base du noyau pour une application donnée, de ne faire que un seul calcul.

Posté par
carpediemre : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 13-03-16 à 19:54

salut

d'où vient ce vecteur (-2, -1, 1) qui engendre le noyau à partir de la matrice AL ?

Posté par
Tadanore : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 13-03-16 à 20:53

carpediem @ 13-03-2016 à 19:54

salut

d'où vient ce vecteur (-2, -1, 1) qui engendre le noyau à partir de la matrice AL ?


La forme échelonnée El correspond à la résolution du système suivant:

\left\lbrace\begin{matrix}x +3y  -z=0 \\  2x+4z=0\\  x-2y+4z=0 \end{matrix}\right.

Elle permet d'aboutir à:

\left\lbrace\begin{matrix}2x+4z=0 \\ y+z=0\\ \end{matrix}\right.

En prenant z comme variable libre, on obtient:

\left\lbrace\begin{matrix} \\ x=-2z\\ \\ y=-z\\ \\ z=z \\ \end{matrix}\right.

Le noyau est donc engendré par le vecteur \begin{pmatrix}-2\\-1\\1\end{pmatrix}

Posté par
Recomic35re : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 13-03-16 à 21:25

Tu as une façon un peu curieuse d'échelonner suivant les colonnes.
Quand on fait des opérations élémentaires sur les colonnes, on multiplie la matrice à droite par une matrice inversible. Ca chamboule donc complètement le noyau.
Idem, quand on fait des opérations élémentaires sur les lignes, on multiplie la matrice à gauche par une matrice inversible et ça chamboule complètement l'image.

Posté par
Tadanore : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 13-03-16 à 21:46

Recomic35 @ 13-03-2016 à 21:25

Tu as une façon un peu curieuse d'échelonner suivant les colonnes.
Quand on fait des opérations élémentaires sur les colonnes, on multiplie la matrice à droite par une matrice inversible. Ca chamboule donc complètement le noyau.
Idem, quand on fait des opérations élémentaires sur les lignes, on multiplie la matrice à gauche par une matrice inversible et ça chamboule complètement l'image.


En quoi ma façon d'échelonner est-elle curieuse ?
J'ai simplement appliquer Gauss pour faire apparaitre des 0 en bas à droite.

Opérations effectuées:

C_2 = C_2 + 2.C_1 \\ C_4 = C_4 - 4.C_1

Puis ensuite:

C_3=C_3+C_2

Et j'obtiens la matrice E_c.

Posté par
Recomic35re : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 13-03-16 à 21:51

Pour moi (et pour tout le monde sauf toi, apparemment), une matrice échelonnée suivant les colonnes, c'est la transposée d'une matrice échelonnée suivant les lignes.

Posté par
Tadanore : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 13-03-16 à 22:04

Recomic35 @ 13-03-2016 à 21:51

Pour moi (et pour tout le monde sauf toi, apparemment), une matrice échelonnée suivant les colonnes, c'est la transposée d'une matrice échelonnée suivant les lignes.


Je vois. Donc avec des 0 en bas à gauche alors ?

Mais au final, qu'importe où les 0 apparaissent
Les opérations sur les colonnes ne modifient pas l'image.
Elle est donc la même dans les deux cas.

On peut prendre cette forme échelonnée en colonne si vous préférer travailler avec:

\begin{pmatrix}0 & 5 & -1\\ 0& 4& 4\\ 0 & 0 & 4\end{pmatrix}

Posté par
Tadanore : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 13-03-16 à 23:51

Pour en revenir à ma question de départ maintenant.

On sait que:
Im(A)=Im(E_c) \\ Ker(A)=Ker(E_l)

On prendra la matrice E_l définie dans mon post précédent, même si celle du post original fonctionne aussi.

Ma question est de savoir si Im(A) est trouvable avec E_l
ou si Ker(A) est trouvable avec E_c.

Certains me diraient "non", mais après maintes recherches j'ai trouvé deux choses intéressantes:
Un pdf en français donnant la méthode suivante, permettant donc de trouver Ker(A) avec E_c:
http://puu.sh/nFxcm/4de397782e.png

Et bien que en français je n'ai rien trouvé pour l'inverse, an anglais en revanche, il n'y a que ça.
J'ai l'impression qu'ils ne calculent pas l'image en échelonnant suivant les colonnes mais avec E_l.
A vrai dire, ils font tout avec E_l, qu'ils appellent la REF (row echelon form).
Sur Youtube, taper: Null space and column space basis.
Plusieurs vidéos traitent de ce sujet.

Dans les deux cas, je ne sais pas pourquoi cela fonctionne.
Mais on a bien une méthode pour trouver Ker(A)  avec E_c (pdf français) ou encore une autre, très en vogue en anglais, pour trouver Im(A) avec E_l.

Posté par
Tadanore : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 13-03-16 à 23:55

Je poste ici quelques images tirées des vidéos, pour simplifier la tache:
http://puu.sh/nFsgf/e74cec945f.jpg
http://puu.sh/nFrZF/428fd71b24.jpg
http://puu.sh/nFuNN/fb25c59a5f.jpg
http://puu.sh/nFv8W/900ee8ee45.jpg
http://puu.sh/nFws4/324a6c0b9c.jpg

Posté par
Recomic35re : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 14-03-16 à 07:03

Tu as toujours une façon non standard d'échelonner suivant les colonnes.

Si quelqu'un prétend trouver le noyau de la matrice A uniquement avec la forme échelonnée réduite suivant les colonnes de A, c'est un escroc.
Mais ce n'est pas du tout ce que fait l'auteur du document que tu fais en lien.

Comme je te l'ai déjà dit (mais visiblement tu n'as pas capté), faire des opérations élémentaires sur les colonnes revient à multiplier à droite par une matrice inversible. Si tu veux comprendre quelque chose à cette histoire, c'est très important de réaliser ça.

Tu pars d'une matrice A. Tu calcules sa forme échelonnée réduite E suivant les colonnes en multipliant A à droite par une matrice inversible P (Une telle matrice P est très exactement celle qui est construite dans la deuxième partie du tableau du document). On a E=AP (tu peux vérifier sur l'exemple). Les colonnes non nulles de E forment une base de l'image de A, et les colonnes de P correspondant aux colonnes nulles de E forment une base du noyau.

Morale : le noyau de A ne se lit absolument pas sur sa forme échelonnée réduite suivant les colonnes. Il se lit sur le couple formé de sa forme échelonnée réduite suivant les colonnes E et d'une matrice P telle que E=AP.

Posté par
Tadanore : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 15-03-16 à 00:00

Déjà je te remercie énormément de prendre du temps pour me répondre!
J'apprécie vraiment


Forme échelonnée suivant les colonnes:
La toute première matrice que j'avais proposé, n'est-elle pas la transposée d'une forme échelonnée selon les lignes ?
Si oui, en quoi ma façon de faire est-elle "non-standard" ?


Ker(A) avec E_c:
Oui en effet j'ai bien compris cette histoire de matrices permettant de "reproduire" les opérations colonnes (resp. lignes) si elle est multipliée à droite (resp. gauche) de la matrice A.

Cela explique du coup pourquoi l'algorithme de Gauss avec (A | Id) donne en effet A^{-1}!

Et cela explique bien comment l'auteur parvient à trouver Ker(A) avec (A | Id) en échelonnant A suivant les colonnes et en reportant les opérations sur l'identité.

Première interrogation levée!


Im(A) avec E_l
Ici par contre je ne comprend vraiment pas.
Cette méthode utilisée sur toute les vidéos anglaise à l'air d'être de loin la meilleure de toute. En somme, ce que je recherche.
On ne calcule que la forme échelonnée selon les lignes de A (qu'ils appellent REF), et on en déduit immédiatement le noyau mais aussi l'image!

Mais alors... Pourquoi la méthode fonctionne ?

Pour reprendre un exemple:


Exemple de l'image avec la forme échelonnée en lignes: (REF)

A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & -5\\ -2 & -3 & -4 & -3 & 8\\ -1 & -1 & -1 & -2 & 4\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 1 & -5\\ 0&1& 2 & -1 & -2\\ 0&1& 2 & -1 & -1\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}\left[ 1\right] & 2 & 3 & 1 & -5\\ 0&\left[ 1\right]& 2 & -1 & -2\\ 0&0& 0 & 0 & \left[ 1\right]\\ \end{pmatrix}

Ils en déduisent que, sachant que les "pivots" sont dans les colonnes 1,2 et 5, les colonnes 1,2 et 5 de la matrice originale engendre l'image.
Donc ici:

Im(A)=Vect(\begin{pmatrix}1\\ -2\\ -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\ -3\\ -1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-5\\ 8\\ 4\end{pmatrix})

Je suis interrogateur

Posté par
sylvainc2re : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 15-03-16 à 02:50

Premierement: la forme échelonnée réduite selon les lignes de la matrice:

1 3 -1
2 0 4
1 -2 4

est:

1 0 2
0 1 -1
0 0 0

ce qui donne le système:

x+2z=0
y-z=0

donc:

x = -2z
y = z

Donc z est une variable libre.   Si on prend un paramètre k, et on pose z=k:

x = -2k
y = k
z = k

donc on peut écrire (x,y,z)=k(-2,1,1).  Donc le vecteur (-2,1,1) forme une base de ker(A), pas (-2,-1,1).

Ensuite: on peut lire directement une base du noyau dans la forme échelon réduite: c'est évidemment la 3e colonne: (2,-1,0) devient (-2,1,1),  c'est-à-dire qu'on inverse le signe des nombres en rouges, et on remplace le 0 en bleu par 1.  En fait ce 1 est une matrice identité 1x1 car dim(ker(A))=1 mais bon, passons.

Pour l'image maintenant:

le fait que (-2,1,1) est une base de ker(A) signifie qu'on a: -2*colonne1 + 1*colonne2 +1*colonne3 = 0.  Donc: colonne3 = 2*colonne1 - colonne2.  Donc la colonne 3 est une combinaison des colonnes 1 et 2, et on peut la retirer.  Il reste les cols 1 et 2 de la matrice originale qui forment forcément une base de Im(A) car le théorème du rang nous dit que dim(Im(A)) = 2.  

Si on avait eu dim(ker(A))>1 on aurait fait la même chose: pour chaque vecteur linéairement indépendant du noyau, on peut enlever un vecteur colonne lié.  Ceux qui restent forment une base de l'image.  Donc de cette façon on peut effectivement déterminer une base l'image à partir du noyau.

Posté par
Recomic35re : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 15-03-16 à 10:38

Tadano @ 15-03-2016 à 00:00

Forme échelonnée suivant les colonnes:
La toute première matrice que j'avais proposé, n'est-elle pas la transposée d'une forme échelonnée selon les lignes ?

Bien sûr que non ! Transpose et tu verras qu'elle n'est pas échelonnée selon les lignes. La forme échelonnée réduite selon les colonnes de ta matrice A de départ est \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 2&1&0\\ 1&\frac56&0\end{pmatrix}.



Citation :
Im(A) avec E_l
Ici par contre je ne comprend vraiment pas.
Cette méthode utilisée sur toute les vidéos anglaise à l'air d'être de loin la meilleure de toute. En somme, ce que je recherche.
On ne calcule que la forme échelonnée selon les lignes de A (qu'ils appellent REF), et on en déduit immédiatement le noyau mais aussi l'image!
Mais alors... Pourquoi la méthode fonctionne ?

Tu remarqueras que la connaissance de la forme échelonnée réduite selon les lignes ne suffit pas pour connaître l'image. On doit utiliser aussi la matrice de départ ! La forme échelonnée réduite ne nous donne, par la position des pivots, que l'information sur le choix des numéros des vecteurs colonnes de la matrice de départ formant une base de l'image ; la forme échelonnée réduite à elle seule ne nous donne absolument pas ces vecteurs !
Il est facile de comprendre comment ça marche si on garde présent à l'esprit que les opérations élémentaires sur les lignes sont des multiplications à gauche par une matrice inversible, ce que je n'arrête pas de te seriner.
On a E_\ell = PA (où E_\ell la forme échelonnée réduite selon les lignes de la matrice A, P une matrice inversible qui cumule les opérations sur les lignes de A). Notons E_j les colonnes de E_\ell, A_j celles de A. Bien sûr E_j=PA_j. La matrice P induit donc un isomorphisme de l'espace des colonnes de A sur l'espace des colonnes de E_\ell. Si j_1, \ldots,j_r sont les numéros des colonnes à pivots dans E_\ell, alors les colonnes E_{j_1},\ldots,E_{j_r} forment une base de l'espace des colonnes de E_\ell. Donc A_{j_1},\ldots,A_{j_r}, qui sont leurs images réciproques par P, forment une base de l'espace des colonnes de A. C'est tout.

Posté par
Recomic35re : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 15-03-16 à 14:35

Désolé, j'avais échelonné mais pas réduit jusqu'au bout. je corrige

Recomic35

La forme échelonnée réduite selon les colonnes de ta matrice A de départ est \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ -\frac23&\frac56&0\end{pmatrix}.

Posté par
Tadanore : Image et Noyau | Echelonnage avec Gauss 15-03-16 à 21:17

@sylvainc2:

Merci beaucoup!
C'est une méthode de ce genre que je cherchais.
Il est vrai que je n'avais jamais pensé au fait que les vecteurs de la base du noyau donnait immédiatement une relation de dépendance linéaire pour les colonnes de la matrice A, et donc permettaient de trouver l'image par élimination.
Simple, et efficace!

@Recomic35:

Oui j'ai bien compris le concept des fameuse matrices qui font les "opération élémentaires".
Ici on a donc bien:
E_l=P.A
et donc
A=Q.E_l où Q=P^{-1}

Finalement, si une famille de colonnes de E_l notée E_i forment une base, et comme P est une application linéaire bijective (donc un isomorphisme, et donc Q également), l'image d'une base est une base, et donc les A_i forment une base.

La méthode est encore plus simple que la précédente, mais moins facile à appréhender je trouve.

Il existe peut-être une autre façon de le voir, plus simple.
Qui sait ?


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