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Image et noyau supplémentaires

Posté par
klux 20-05-25 à 00:05

Bonjour.

Soient E un espace euclidien et f \in \mathcal{L}(E) tel que \forall x \in E, (x,f(x)) = 0.

Montrer que \text{Im} f \oplus \text{Ker} f = E.

Ce résultat me semble faux. Je n'arrive pas à montrer que le noyeau et l'image sont en somme directe.

Posté par
GBZMre : Image et noyau supplémentaires 20-05-25 à 09:08

Bonjour,
Le résultat est correct. La forme quadratique x\mapsto \langle x,f(x)\rangle est identiquement nulle. Quelle est sa forme polaire ? Ça peut servir à montrer que \mathrm{im}f et \ker f sont orthogonaux ...

Posté par
kluxre : Image et noyau supplémentaires 20-05-25 à 22:34

Bonjour.
Merci pour la réponse.
J'ai montré que f est antisymétrique (*) puis que son noyau et son image sont orthogonaux.
Sans (*), j'étais bloqué.

Posté par
GBZMre : Image et noyau supplémentaires 21-05-25 à 11:38

Avec plaisir.


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