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image reciproque de boule ouverte

Posté par
loulouetlilou 09-10-20 à 11:32

Bonjour, j'ai un exercice de topologie qui me bloque;
Soit f:(X_1, d_1) \rightarrow (X_2, d_2) une fonction continue. Est-il vraie que l'image réciproque de toute boule ouverte de X_2 est une boule ouverte de X_1?
Soit r>0, q \in X_2,  f^{-1}\left(B_r(q \right))=\left\{ x \in X_1 | d_2(f(x),q)<r\right\}
Il faut donc montrer que f^{-1}\left(B_r(q \right)) n'est pas une boule ouverte, bien que ce soit un ouvert.
J'ai l'intuition que l'assertion est fausse mais je ne sais pas comment raisonner j'ai déjà tenté plusieurs raisonnement en me basant sur la définition de la continuité de f et en distinguant le cas où q \in f(X_1) mais je me retrouve toujours bloqué à un moment... Votre aide serait donc la bienvenue ! Merci d'avance.

Posté par
loulouetliloure : image reciproque de boule ouverte 09-10-20 à 11:40

J'ai trouvé un contre exemple si X_1=X_2=R et f(x)=x^2 alors
f^{-1}(]0,1[)=]-1,1[\setminus \{0\} or ceci n'est pas une boule. Mais je ne sais pas si un contre-exemple suffit ?

Posté par
jsvdbre : image reciproque de boule ouverte 09-10-20 à 11:46

Bonjour loulouetlilou

Citation :
Est-il vraie que l'image réciproque de toute boule ouverte de X_2 est une boule ouverte de X_1?

Non, L'image réciproque de toute boule ouverte de X_2 est un ouvert de X_1. Aucune raison que ce soit une boule.
Citation :
Mais je ne sais pas si un contre-exemple suffit ?

Bien sûr que si ... que veux-tu de plus ?

Posté par
GBZMre : image reciproque de boule ouverte 09-10-20 à 11:48

Bonjour,

Pour démontrer qu'une assertion "Pour tout machin, truc(machin)" est fausse, il suffit d'exhiber UN machin qui ne vérifie pas truc(machin).

Posté par
loulouetliloure : image reciproque de boule ouverte 10-10-20 à 08:10

Merci de vos reponses ! Je ne savais pas s'il fallait le prouver pour le cas général ou si fixer X1 X2 et f suffisait


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