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impasse

Posté par FANTOMAS (invité) 19-01-05 à 18:05

Je suis confronté à un problème simple mais dont je ne trouve pas la solution.
f(x)= (x(x-3)²)^(1/3)
1°) déterminer l'ensemble de dérivabilité de f et calculer sa dérivée.
2°)Préciser les extremums locaux de f.

Posté par
Nightmarere : impasse 19-01-05 à 18:27

Bonjour

1) f est dérivable pour tout x tel que x(x-3)^{2}\no=0
soit pour tout x différent de 0 et 3 :

\frac{d}{dx}(x-3)^{2}=2(x-3)
et
\frac{d}{dx} x=1
donc :
\frac{d}{dx} x.(x-3)^{2}=2x(x-3)+(x-3)^{2}
soit :
\frac{d}{dx} x.(x-3)^{2}=(x-3)(3x-3)=3(x-3)(x-1)

De plus on a :
\frac{d}{dx} u^{\frac{1}{3}}(x)=\frac{u'(x)}{3\sqrt[3]{u(x)}^{2}}

On en déduit donc :
f'(x)=\frac{3(x-3)(x-1)}{3\sqrt[3]{x(x-3)^{2}}^{2}}

Cette dérivée s'annulle pour x = 3 et x=1 .
x=3 est une valeur interdite . On a donc comme seul extremum local x=1


jord


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