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IN Ensemble Infini ?
Bonsoir à tous,
Alors voilà, je reprends le début de mon cours, j'ai comme définition :
- On dit qu'un ensemble A est fini s'il existe n appartenant à IN tel que A soit en bijection avec {1,...,n}.
- Un ensemble E qui n'est pas fini est dit infini. On peut également définir un ensemble E comme infini en disant qu'il existe x0 appartenant à E et une injection de E dans E\{x0}.
Avec pour exemple : L'ensemble IN est infini puisque n --> n+1 est une injection de IN dans IN*.
Je ne saisis pas bien le concept d'infini avec cette définition et cette injection là. Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?
Merci d'avance,
Excellente soirée à vous,
Bonsoir,
il y a un axiome qui affirme l'existence d'un ensemble infini.
En fait l'ensemble N est infini par définition.
Sinon il est impossible de démontrer l'existence d'un ensemble infini.
Bonsoir verdurin,
Du coup ça ne m'avance pas trop alors, aurais-tu un exemple à me proposer que je comprenne ce lien entre l'ensemble et l'injection s'il te plait ?
Pour moi, la définition marche avec un ensemble fini ou infini.
Si je prends A = {1,2,3}, et que je choisis x0 = 1 par exemple, en notant A\{x0} = {2,3}.
On a bien une injection de A dans A\{x0}, pourtant A n'est clairement pas infini.
Je ne dois pas saisir une étape ?
Bonsoir vicinet.
Non, tu n'as clairement pas d'injection de {1,2,3} dans {1,2}.
Ou alors tu ne te rappelles plus ce qu'est une injection.
C'est ce que j'étais en train de me dire, que c'est une surjection pardon.
Je comprends encore moins ce concept d'injection pour cette définition d'ensemble infini alors.
C'est un peu délicat : ça dépend de l'axiomatique que tu prends au départ.
Mais, si mes souvenirs sont bons, dire que N est un ensemble revient plus ou moins à dire qu'il existe un ensemble infini.
En gros :
Tu peux intéresser aux fondements des mathématiques et regarder précisément l'axiomatique de base, en général ZF pour Zermelo-Fraenkel.
Tu peux ne pas t'y intéresser et les « définitions » au début de ton cours sont suffisantes.
Je vois, partons du fait que IN infini est admis, mais comment prouver alors qu'un autre ensemble est infini par la définition présente ? On la laisse tomber et on utilise d'autres méthodes ?
A priori, est censé posséder un élément de moins que E.
Or si tu peut injecter E dans c'est que E possède au moins autant d'élément que
.
Il n'y a que l'infini qui soit capable de résoudre ce paradoxe.
Ah oui je vois, un peu comme l'histoire que IN et IN+1 ont le même nombre d'élément alors ?
Mais plus précisément qu'une injection, peut-on dire que c'est une bijection ? Ça m'en a tout l'air non ?
Comme tu as une injection de E dans , et qu'il en existe une naturelle de
dans E, alors il existe une bijection de E sur
(Théorème de Cantor)
Plus généralement, si tu as une injection de A dans B et une de B dans A alors A et B sont équipotents.
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